Номер 4, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. Решите уравнения:

A. $3\cos^2 x - \sin 2x - \sin^2 x = 0$;

Б. $5\cos x + 2\sin x = 3$.

А. Исходное уравнение: $3\cos^2 x - \sin 2x - \sin^2 x = 0$.
Используем формулу двойного угла для синуса: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
Подставим ее в уравнение:
$3\cos^2 x - 2\sin x \cos x - \sin^2 x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Чтобы его решить, рассмотрим два случая.
1. Случай, когда $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $-\sin^2 x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Однако, синус и косинус одного и того же угла не могут быть одновременно равны нулю, так как нарушается основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$.
2. Поскольку $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$:
$\frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} - \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$3 - 2\frac{\sin x}{\cos x} - (\frac{\sin x}{\cos x})^2 = 0$
Так как $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, уравнение можно переписать через тангенс:
$3 - 2\tan x - \tan^2 x = 0$
Сделаем замену переменной $t = \tan x$:
$-t^2 - 2t + 3 = 0$
Умножим на -1 для удобства:
$t^2 + 2t - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант), находим корни:
$t_1 = 1$
$t_2 = -3$
Теперь выполним обратную замену:
1) $\tan x = 1$
$x = \arctan(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
2) $\tan x = -3$
$x = \arctan(-3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = -\arctan(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \text{ } x = -\arctan(3) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

Б. Исходное уравнение: $5\cos x + 2\sin x = 3$.
Это линейное тригонометрическое уравнение вида $a\cos x + b\sin x = c$. Для его решения применим метод введения вспомогательного угла.
Разделим обе части уравнения на число $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25+4} = \sqrt{29}$.
$\frac{5}{\sqrt{29}}\cos x + \frac{2}{\sqrt{29}}\sin x = \frac{3}{\sqrt{29}}$
Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{29}}$ и $\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{29}}$. Такой угол существует, так как выполняется основное тригонометрическое тождество: $(\frac{5}{\sqrt{29}})^2 + (\frac{2}{\sqrt{29}})^2 = \frac{25}{29} + \frac{4}{29} = \frac{29}{29} = 1$. Угол $\alpha$ можно выразить через арктангенс: $\alpha = \arctan(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}) = \arctan(\frac{2/ \sqrt{29}}{5/ \sqrt{29}}) = \arctan(\frac{2}{5})$.
Теперь левая часть уравнения принимает вид:
$\cos \alpha \cos x + \sin \alpha \sin x = \frac{3}{\sqrt{29}}$
Свернем левую часть по формуле косинуса разности $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$:
$\cos(x - \alpha) = \frac{3}{\sqrt{29}}$
Так как $|\frac{3}{\sqrt{29}}| < 1$ (поскольку $9 < 29$), уравнение имеет решения.
$x - \alpha = \pm \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{29}}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выразим $x$:
$x = \alpha \pm \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{29}}\right) + 2\pi n$
Подставим найденное выражение для $\alpha$:
$x = \arctan\left(\frac{2}{5}\right) \pm \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{29}}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \arctan\left(\frac{2}{5}\right) \pm \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{29}}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.