Номер 3, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

А. $y = x^3 + x^2 - 16x - 2;$

Б. $y = \frac{2x-1}{(x-1)^2}$.

4. Решите уравнение:

А. Для функции $y = x^3 + x^2 - 16x - 2$:

1. Найдем область определения функции. Так как функция является многочленом, ее область определения – все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$y' = (x^3 + x^2 - 16x - 2)' = 3x^2 + 2x - 16$.

3. Найдем критические точки, для этого приравняем производную к нулю:
$3x^2 + 2x - 16 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 4 + 192 = 196 = 14^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

4. Критические точки $x = -8/3$ и $x = 2$ разбивают числовую прямую на три интервала. Определим знак производной на каждом из них, чтобы найти промежутки возрастания и убывания.
- На интервале $(-\infty; -8/3)$, например, при $x = -3$, производная $y'(-3) = 3(-3)^2 + 2(-3) - 16 = 27 - 6 - 16 = 5 > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.
- На интервале $(-8/3; 2)$, например, при $x = 0$, производная $y'(0) = 3(0)^2 + 2(0) - 16 = -16 < 0$. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.
- На интервале $(2; +\infty)$, например, при $x = 3$, производная $y'(3) = 3(3)^2 + 2(3) - 16 = 27 + 6 - 16 = 17 > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -8/3]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $[-8/3; 2]$.

Б. Для функции $y = \frac{2x-1}{(x-1)^2}$:

1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:
$(x-1)^2 \neq 0 \implies x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$y' = \frac{(2x-1)'(x-1)^2 - (2x-1)((x-1)^2)'}{((x-1)^2)^2} = \frac{2(x-1)^2 - (2x-1) \cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}$.
Упростим выражение, вынеся за скобки общий множитель $2(x-1)$ в числителе:
$y' = \frac{2(x-1)[(x-1) - (2x-1)]}{(x-1)^4} = \frac{2(x-1-2x+1)}{(x-1)^3} = \frac{2(-x)}{(x-1)^3} = -\frac{2x}{(x-1)^3}$.

3. Найдем критические точки. Производная равна нулю, когда ее числитель равен нулю:
$-2x = 0 \implies x = 0$.
Производная не существует, когда ее знаменатель равен нулю:
$(x-1)^3 = 0 \implies x = 1$.
Точка $x=1$ является точкой разрыва функции и ее производной.

4. Точки $x=0$ и $x=1$ разбивают область определения на интервалы $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.
- На интервале $(-\infty; 0)$, например, при $x = -1$: $y'(-1) = -\frac{2(-1)}{(-1-1)^3} = -\frac{-2}{-8} = -\frac{1}{4} < 0$, значит, функция убывает.
- На интервале $(0; 1)$, например, при $x = 0.5$: $y'(0.5) = -\frac{2(0.5)}{(0.5-1)^3} = -\frac{1}{(-0.5)^3} = -\frac{1}{-0.125} = 8 > 0$, значит, функция возрастает.
- На интервале $(1; +\infty)$, например, при $x = 2$: $y'(2) = -\frac{2(2)}{(2-1)^3} = -\frac{4}{1} = -4 < 0$, значит, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; 1)$, убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $(1; +\infty)$.