Страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

7. Определите, являются ли функции непрерывными:

А. $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$ в точке $x_0=1;$

Б. $f(x)=\frac{2+x}{2-x}$ в точке $x_0=-2.$

Функция является непрерывной в точке $x_0$, если выполняются три условия:
1. Функция определена в точке $x_0$ (то есть, $x_0$ входит в область определения функции).
2. Существует предел функции в этой точке $\lim_{x \to x_0} f(x)$.
3. Значение функции в точке равно ее пределу в этой точке: $f(x_0) = \lim_{x \to x_0} f(x)$.

А. $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$ в точке $x_0=1$.

1. Проверим, определена ли функция в точке $x_0=1$. Знаменатель дроби при $x=1$ равен $1+1=2$, что не равно нулю. Следовательно, функция определена в этой точке. Найдем ее значение:
$f(1) = \frac{1-1}{1+1} = \frac{0}{2} = 0$.

2. Найдем предел функции при $x \to 1$. Так как функция является элементарной и определена в точке $x_0=1$, предел равен значению функции в этой точке:
$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{x+1} = \frac{1-1}{1+1} = \frac{0}{2} = 0$.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0=1$:
$f(1) = 0$ и $\lim_{x \to 1} f(x) = 0$.
Поскольку $f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$, все три условия непрерывности выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = 1$.

Б. $f(x)=\frac{2+x}{2-x}$ в точке $x_0=-2$.

1. Проверим, определена ли функция в точке $x_0=-2$. Знаменатель дроби при $x=-2$ равен $2-(-2)=4$, что не равно нулю. Следовательно, функция определена в этой точке. Найдем ее значение:
$f(-2) = \frac{2+(-2)}{2-(-2)} = \frac{0}{4} = 0$.

2. Найдем предел функции при $x \to -2$. Так как функция является элементарной и определена в точке $x_0=-2$, предел равен значению функции в этой точке:
$\lim_{x \to -2} \frac{2+x}{2-x} = \frac{2+(-2)}{2-(-2)} = \frac{0}{4} = 0$.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0=-2$:
$f(-2) = 0$ и $\lim_{x \to -2} f(x) = 0$.
Поскольку $f(-2) = \lim_{x \to -2} f(x)$, все три условия непрерывности выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = -2$.

8. Найдите область определения функций:

А. $y = \cot(3x)$

Б. $y = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$

А. y = ctg3x

Область определения функции котангенса $y = \text{ctg}(\alpha)$ находится из условия, что знаменатель в выражении $\text{ctg}(\alpha) = \frac{\text{cos}(\alpha)}{\text{sin}(\alpha)}$ не должен быть равен нулю. То есть, синус аргумента не должен обращаться в ноль.

Запишем это условие:

$\text{sin}(3x) \neq 0$

Функция синус равна нулю при значениях аргумента, кратных $\pi$. Следовательно:

$3x \neq \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 3:

$x \neq \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, область определения функции состоит из всех действительных чисел, за исключением точек вида $\frac{\pi k}{3}$.

Ответ: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}\}$.

Б. y = tg$\frac{x}{2}$

Область определения функции тангенса $y = \text{tg}(\alpha)$ находится из условия, что знаменатель в выражении $\text{tg}(\alpha) = \frac{\text{sin}(\alpha)}{\text{cos}(\alpha)}$ не должен быть равен нулю. То есть, косинус аргумента не должен обращаться в ноль.

Запишем это условие:

$\text{cos}(\frac{x}{2}) \neq 0$

Функция косинус равна нулю при значениях аргумента вида $\frac{\pi}{2} + \pi k$. Следовательно:

$\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на 2:

$x \neq 2 \cdot (\frac{\pi}{2} + \pi k)$

$x \neq \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, область определения функции состоит из всех действительных чисел, за исключением точек вида $\pi + 2\pi k$.

Ответ: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

1. Найдите пределы:

А. $\lim_{x \to 7} \frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-7x}$; $\lim_{x \to 1} \frac{x^3+5x^2-7x+1}{2x^2+3x-5}$

Б. $\lim_{x \to 17} \frac{4-\sqrt{x-1}}{x^2-17x}$; $\lim_{x \to 1} \frac{2x^3+4x^2-x-2}{3x^2+7x+2}$

А. Решение первого предела: $ \lim_{x \to 7} \frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-7x} $.
При подстановке $x=7$ в числитель и знаменатель получаем нули ($2-\sqrt{7-3}=0$ и $7^2-7 \cdot 7=0$), что приводит к неопределенности вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю выражение $2+\sqrt{x-3}$.
$ \lim_{x \to 7} \frac{(2-\sqrt{x-3})(2+\sqrt{x-3})}{(x^2-7x)(2+\sqrt{x-3})} = \lim_{x \to 7} \frac{2^2-(\sqrt{x-3})^2}{x(x-7)(2+\sqrt{x-3})} = \lim_{x \to 7} \frac{4-(x-3)}{x(x-7)(2+\sqrt{x-3})} = \lim_{x \to 7} \frac{7-x}{x(x-7)(2+\sqrt{x-3})} $.
Вынесем минус за скобки в числителе и сократим дробь на $(x-7)$:
$ \lim_{x \to 7} \frac{-(x-7)}{x(x-7)(2+\sqrt{x-3})} = \lim_{x \to 7} \frac{-1}{x(2+\sqrt{x-3})} $.
Теперь подставляем $x=7$ в полученное выражение:
$ \frac{-1}{7(2+\sqrt{7-3})} = \frac{-1}{7(2+\sqrt{4})} = \frac{-1}{7(2+2)} = -\frac{1}{28} $.
Ответ: $-\frac{1}{28}$.

Решение второго предела: $ \lim_{x \to 1} \frac{x^3+5x^2-7x+1}{2x^2+3x-5} $.
Подстановка $x=1$ дает неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $1^3+5(1)^2-7(1)+1=0$ и $2(1)^2+3(1)-5=0$. Это означает, что $x=1$ является корнем многочленов в числителе и знаменателе, поэтому мы можем разложить их на множители, выделив $(x-1)$.
Разложение числителя: $x^3+5x^2-7x+1 = (x-1)(x^2+6x-1)$.
Разложение знаменателя: $2x^2+3x-5 = (x-1)(2x+5)$.
Подставим разложения в предел и сократим на $(x-1)$:
$ \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2+6x-1)}{(x-1)(2x+5)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2+6x-1}{2x+5} $.
Подставляем $x=1$ в упрощенное выражение:
$ \frac{1^2+6(1)-1}{2(1)+5} = \frac{1+6-1}{2+5} = \frac{6}{7} $.
Ответ: $\frac{6}{7}$.

Б. Решение первого предела: $ \lim_{x \to 17} \frac{4-\sqrt{x-1}}{x^2-17x} $.
При $x=17$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$, так как $4-\sqrt{17-1}=0$ и $17^2-17\cdot 17=0$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $4+\sqrt{x-1}$:
$ \lim_{x \to 17} \frac{(4-\sqrt{x-1})(4+\sqrt{x-1})}{(x^2-17x)(4+\sqrt{x-1})} = \lim_{x \to 17} \frac{16-(x-1)}{x(x-17)(4+\sqrt{x-1})} = \lim_{x \to 17} \frac{17-x}{x(x-17)(4+\sqrt{x-1})} $.
Сократим дробь на $(x-17)$:
$ \lim_{x \to 17} \frac{-1}{x(4+\sqrt{x-1})} $.
Подставляем $x=17$ в итоговое выражение:
$ \frac{-1}{17(4+\sqrt{17-1})} = \frac{-1}{17(4+\sqrt{16})} = \frac{-1}{17(4+4)} = -\frac{1}{136} $.
Ответ: $-\frac{1}{136}$.

Решение второго предела: $ \lim_{x \to -1} \frac{2x^3+4x^2-x-2}{3x^2+7x+2} $.
В данном случае неопределенности нет. Выполним прямую подстановку значения $x=-1$.
Числитель: $2(-1)^3+4(-1)^2-(-1)-2 = 2(-1)+4(1)+1-2 = -2+4+1-2 = 1$.
Знаменатель: $3(-1)^2+7(-1)+2 = 3(1)-7+2 = 3-7+2 = -2$.
Поскольку в результате подстановки мы получаем конечное число, предел равен значению функции в этой точке:
$ \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

2. С помощью элементарных преобразований постройте график функций:

А. $y = 2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right);$

Б. $y = -\left|\frac{3}{x+1}\right|.$

А. $y = 2\sin(x + \frac{\pi}{3})$

Построение графика этой функции будем выполнять с помощью последовательных элементарных преобразований графика основной функции $y = \sin(x)$.

1. Строим график функции $y_1 = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1 и областью значений $[-1; 1]$. График проходит через точки $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ и так далее.

2. Преобразуем график $y_1 = \sin(x)$ в график $y_2 = \sin(x + \frac{\pi}{3})$. Это преобразование вида $f(x+c)$. Так

3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

А. $y = x^3 + x^2 - 16x - 2;$

Б. $y = \frac{2x-1}{(x-1)^2}$.

4. Решите уравнение:

А. Для функции $y = x^3 + x^2 - 16x - 2$:

1. Найдем область определения функции. Так как функция является многочленом, ее область определения – все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$y' = (x^3 + x^2 - 16x - 2)' = 3x^2 + 2x - 16$.

3. Найдем критические точки, для этого приравняем производную к нулю:
$3x^2 + 2x - 16 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 4 + 192 = 196 = 14^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

4. Критические точки $x = -8/3$ и $x = 2$ разбивают числовую прямую на три интервала. Определим знак производной на каждом из них, чтобы найти промежутки возрастания и убывания.
- На интервале $(-\infty; -8/3)$, например, при $x = -3$, производная $y'(-3) = 3(-3)^2 + 2(-3) - 16 = 27 - 6 - 16 = 5 > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.
- На интервале $(-8/3; 2)$, например, при $x = 0$, производная $y'(0) = 3(0)^2 + 2(0) - 16 = -16 < 0$. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.
- На интервале $(2; +\infty)$, например, при $x = 3$, производная $y'(3) = 3(3)^2 + 2(3) - 16 = 27 + 6 - 16 = 17 > 0$. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -8/3]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $[-8/3; 2]$.

Б. Для функции $y = \frac{2x-1}{(x-1)^2}$:

1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:
$(x-1)^2 \neq 0 \implies x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$y' = \frac{(2x-1)'(x-1)^2 - (2x-1)((x-1)^2)'}{((x-1)^2)^2} = \frac{2(x-1)^2 - (2x-1) \cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}$.
Упростим выражение, вынеся за скобки общий множитель $2(x-1)$ в числителе:
$y' = \frac{2(x-1)[(x-1) - (2x-1)]}{(x-1)^4} = \frac{2(x-1-2x+1)}{(x-1)^3} = \frac{2(-x)}{(x-1)^3} = -\frac{2x}{(x-1)^3}$.

3. Найдем критические точки. Производная равна нулю, когда ее числитель равен нулю:
$-2x = 0 \implies x = 0$.
Производная не существует, когда ее знаменатель равен нулю:
$(x-1)^3 = 0 \implies x = 1$.
Точка $x=1$ является точкой разрыва функции и ее производной.

4. Точки $x=0$ и $x=1$ разбивают область определения на интервалы $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.
- На интервале $(-\infty; 0)$, например, при $x = -1$: $y'(-1) = -\frac{2(-1)}{(-1-1)^3} = -\frac{-2}{-8} = -\frac{1}{4} < 0$, значит, функция убывает.
- На интервале $(0; 1)$, например, при $x = 0.5$: $y'(0.5) = -\frac{2(0.5)}{(0.5-1)^3} = -\frac{1}{(-0.5)^3} = -\frac{1}{-0.125} = 8 > 0$, значит, функция возрастает.
- На интервале $(1; +\infty)$, например, при $x = 2$: $y'(2) = -\frac{2(2)}{(2-1)^3} = -\frac{4}{1} = -4 < 0$, значит, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; 1)$, убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $(1; +\infty)$.

4. Решите уравнения:

A. $3\cos^2 x - \sin 2x - \sin^2 x = 0$;

Б. $5\cos x + 2\sin x = 3$.

А. Исходное уравнение: $3\cos^2 x - \sin 2x - \sin^2 x = 0$.
Используем формулу двойного угла для синуса: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
Подставим ее в уравнение:
$3\cos^2 x - 2\sin x \cos x - \sin^2 x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Чтобы его решить, рассмотрим два случая.
1. Случай, когда $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $-\sin^2 x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Однако, синус и косинус одного и того же угла не могут быть одновременно равны нулю, так как нарушается основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$.
2. Поскольку $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$:
$\frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} - \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$3 - 2\frac{\sin x}{\cos x} - (\frac{\sin x}{\cos x})^2 = 0$
Так как $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, уравнение можно переписать через тангенс:
$3 - 2\tan x - \tan^2 x = 0$
Сделаем замену переменной $t = \tan x$:
$-t^2 - 2t + 3 = 0$
Умножим на -1 для удобства:
$t^2 + 2t - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант), находим корни:
$t_1 = 1$
$t_2 = -3$
Теперь выполним обратную замену:
1) $\tan x = 1$
$x = \arctan(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
2) $\tan x = -3$
$x = \arctan(-3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = -\arctan(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \text{ } x = -\arctan(3) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

Б. Исходное уравнение: $5\cos x + 2\sin x = 3$.
Это линейное тригонометрическое уравнение вида $a\cos x + b\sin x = c$. Для его решения применим метод введения вспомогательного угла.
Разделим обе части уравнения на число $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25+4} = \sqrt{29}$.
$\frac{5}{\sqrt{29}}\cos x + \frac{2}{\sqrt{29}}\sin x = \frac{3}{\sqrt{29}}$
Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{29}}$ и $\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{29}}$. Такой угол существует, так как выполняется основное тригонометрическое тождество: $(\frac{5}{\sqrt{29}})^2 + (\frac{2}{\sqrt{29}})^2 = \frac{25}{29} + \frac{4}{29} = \frac{29}{29} = 1$. Угол $\alpha$ можно выразить через арктангенс: $\alpha = \arctan(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}) = \arctan(\frac{2/ \sqrt{29}}{5/ \sqrt{29}}) = \arctan(\frac{2}{5})$.
Теперь левая часть уравнения принимает вид:
$\cos \alpha \cos x + \sin \alpha \sin x = \frac{3}{\sqrt{29}}$
Свернем левую часть по формуле косинуса разности $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$:
$\cos(x - \alpha) = \frac{3}{\sqrt{29}}$
Так как $|\frac{3}{\sqrt{29}}| < 1$ (поскольку $9 < 29$), уравнение имеет решения.
$x - \alpha = \pm \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{29}}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выразим $x$:
$x = \alpha \pm \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{29}}\right) + 2\pi n$
Подставим найденное выражение для $\alpha$:
$x = \arctan\left(\frac{2}{5}\right) \pm \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{29}}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \arctan\left(\frac{2}{5}\right) \pm \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{29}}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5. Решите системы уравнений:

A.

$\begin{cases} \cos x + \cos y = \sqrt{3}, \\ x + y = \frac{\pi}{3}; \end{cases}$

Б.

$\begin{cases} x + y = \frac{7\pi}{3}, \\ \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{3}{2}. \end{cases}$

C. Вычислите!

А. Дана система уравнений:

$\begin{cases}\cos x + \cos y = \sqrt{3}, \\x + y = \frac{\pi}{3}\end{cases}$

Для решения преобразуем первое уравнение, используя формулу суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} = \sqrt{3}$

Из второго уравнения системы нам известно, что $x + y = \frac{\pi}{3}$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$2 \cos\left(\frac{\pi/3}{2}\right) \cos\frac{x-y}{2} = \sqrt{3}$

$2 \cos\frac{\pi}{6} \cos\frac{x-y}{2} = \sqrt{3}$

Поскольку значение $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, уравнение принимает вид:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\frac{x-y}{2} = \sqrt{3}$

$\sqrt{3} \cos\frac{x-y}{2} = \sqrt{3}$

Разделив обе части на $\sqrt{3}$, получаем:

$\cos\frac{x-y}{2} = 1$

Это равенство выполняется, когда аргумент косинуса равен $2\pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$):

$\frac{x-y}{2} = 2\pi k$

$x-y = 4\pi k$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$\begin{cases}x + y = \frac{\pi}{3}, \\x - y = 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$:

$(x+y) + (x-y) = \frac{\pi}{3} + 4\pi k$

$2x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k$

$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $y$:

$(x+y) - (x-y) = \frac{\pi}{3} - 4\pi k$

$2y = \frac{\pi}{3} - 4\pi k$

$y = \frac{\pi}{6} - 2\pi k$

Таким образом, решения системы имеют вид пар $(x, y)$.

Ответ: $(\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} - 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Б. Дана система уравнений:

$\begin{cases}x + y = \frac{7\pi}{3}, \\\sin^2 x + \sin^2 y = \frac{3}{2}\end{cases}$

Преобразуем второе уравнение, используя формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 - \cos(2y)}{2} = \frac{3}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$(1 - \cos(2x)) + (1 - \cos(2y)) = 3$

$2 - (\cos(2x) + \cos(2y)) = 3$

$\cos(2x) + \cos(2y) = -1$

Теперь применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\cos\frac{2x+2y}{2}\cos\frac{2x-2y}{2} = -1$

$2\cos(x+y)\cos(x-y) = -1$

Из первого уравнения системы подставим значение $x+y = \frac{7\pi}{3}$:

$2\cos\left(\frac{7\pi}{3}\right)\cos(x-y) = -1$

Вычислим значение косинуса: $\cos\left(\frac{7\pi}{3}\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

$2 \cdot \frac{1}{2} \cos(x-y) = -1$

$\cos(x-y) = -1$

Это равенство выполняется, когда аргумент косинуса равен $\pi + 2\pi n$, где $n$ – любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$):

$x-y = \pi + 2\pi n$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases}x + y = \frac{7\pi}{3}, \\x - y = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\end{cases}$

Сложим уравнения, чтобы найти $x$:

$(x+y) + (x-y) = \frac{7\pi}{3} + \pi + 2\pi n$

$2x = \frac{7\pi}{3} + \frac{3\pi}{3} + 2\pi n = \frac{10\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \frac{5\pi}{3} + \pi n$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $y$:

$(x+y) - (x-y) = \frac{7\pi}{3} - (\pi + 2\pi n)$

$2y = \frac{7\pi}{3} - \frac{3\pi}{3} - 2\pi n = \frac{4\pi}{3} - 2\pi n$

$y = \frac{2\pi}{3} - \pi n$

Таким образом, решения системы имеют вид пар $(x, y)$.

Ответ: $(\frac{5\pi}{3} + \pi n, \frac{2\pi}{3} - \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6. Вычислите:

А. $\sin\left(2\arccos\frac{12}{13}\right)$

Б. $\operatorname{ctg}\left(\frac{1}{2}\arcsin\frac{4}{13}\right)$

А.

Для вычисления значения выражения $\sin\left(2\arccos\frac{12}{13}\right)$ введем замену.

Пусть $\alpha = \arccos\frac{12}{13}$. Согласно определению арккосинуса, это означает, что $\cos\alpha = \frac{12}{13}$ и угол $\alpha$ находится в диапазоне $0 \le \alpha \le \pi$.

Исходное выражение принимает вид $\sin(2\alpha)$. Применим формулу синуса двойного угла:

$\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Значение $\cos\alpha$ нам известно. Найдем $\sin\alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$.

Поскольку $0 \le \alpha \le \pi$, значение $\sin\alpha$ является неотрицательным. Таким образом:

$\sin\alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$.

Теперь мы можем подставить найденные значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ в формулу для $\sin(2\alpha)$:

$\sin\left(2\arccos\frac{12}{13}\right) = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{13} = \frac{120}{169}$.

Ответ: $\frac{120}{169}$.

Б.

Для вычисления значения выражения $\ctg\left(\frac{1}{2}\arcsin\frac{4}{13}\right)$ также введем замену.

Пусть $\beta = \arcsin\frac{4}{13}$. Согласно определению арксинуса, это означает, что $\sin\beta = \frac{4}{13}$ и угол $\beta$ находится в диапазоне $-\frac{\pi}{2} \le \beta \le \frac{\pi}{2}$.

Исходное выражение принимает вид $\ctg\left(\frac{\beta}{2}\right)$. Воспользуемся формулой котангенса половинного угла:

$\ctg\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{1 + \cos\beta}{\sin\beta}$.

Значение $\sin\beta$ нам известно. Найдем $\cos\beta$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$.

$\cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta = 1 - \left(\frac{4}{13}\right)^2 = 1 - \frac{16}{169} = \frac{169 - 16}{169} = \frac{153}{169}$.

Поскольку $-\frac{\pi}{2} \le \beta \le \frac{\pi}{2}$, значение $\cos\beta$ является неотрицательным. Таким образом:

$\cos\beta = \sqrt{\frac{153}{169}} = \frac{\sqrt{153}}{13} = \frac{\sqrt{9 \cdot 17}}{13} = \frac{3\sqrt{17}}{13}$.

Теперь подставим найденные значения $\sin\beta$ и $\cos\beta$ в формулу для $\ctg\left(\frac{\beta}{2}\right)$:

$\ctg\left(\frac{1}{2}\arcsin\frac{4}{13}\right) = \frac{1 + \frac{3\sqrt{17}}{13}}{\frac{4}{13}}$.

Упростим полученное дробное выражение:

$\frac{\frac{13 + 3\sqrt{17}}{13}}{\frac{4}{13}} = \frac{13 + 3\sqrt{17}}{4}$.

Ответ: $\frac{13 + 3\sqrt{17}}{4}$.

7. А. Число 18 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Б. Число 12 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

А. Пусть первое положительное слагаемое равно $x$, а второе – $y$. Согласно условию, оба слагаемых должны быть положительными, то есть $x > 0$ и $y > 0$.
Их сумма равна 18:$x + y = 18$Из этого уравнения выразим $y$:$y = 18 - x$Поскольку $y > 0$, то $18 - x > 0$, что означает $x < 18$. Следовательно, значение $x$ находится в интервале $(0, 18)$.
Мы ищем наименьшее значение суммы квадратов этих слагаемых. Составим функцию $S(x)$, представляющую эту сумму:$S(x) = x^2 + y^2 = x^2 + (18 - x)^2$Раскроем скобки и упростим выражение:$S(x) = x^2 + (324 - 36x + x^2) = 2x^2 - 36x + 324$Полученная функция $S(x)$ является квадратичной, а её график — парабола с ветвями, направленными вверх. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине. Чтобы найти точку минимума, найдем производную функции $S(x)$ и приравняем её к нулю.$S'(x) = (2x^2 - 36x + 324)' = 4x - 36$Приравняем производную к нулю:$4x - 36 = 0$$4x = 36$$x = 9$Значение $x=9$ принадлежит интервалу $(0, 18)$, следовательно, это точка минимума.Теперь найдем второе слагаемое:$y = 18 - x = 18 - 9 = 9$Таким образом, для того чтобы сумма квадратов была наименьшей, число 18 необходимо представить как сумму двух одинаковых слагаемых.
Ответ: $18 = 9 + 9$.

Б. Пусть первое слагаемое равно $x$, а второе – $y$. В этом случае нет условия положительности слагаемых.Их сумма равна 12:$x + y = 12$Выразим $y$ через $x$:$y = 12 - x$Мы ищем наименьшее значение суммы кубов этих слагаемых. Составим функцию $C(x)$:$C(x) = x^3 + y^3 = x^3 + (12 - x)^3$Для нахождения точки минимума найдем производную функции $C(x)$ и приравняем ее к нулю.$C'(x) = (x^3 + (12 - x)^3)'$Используя правило дифференцирования сложной функции:$C'(x) = 3x^2 + 3(12 - x)^2 \cdot (12 - x)' = 3x^2 + 3(12 - x)^2 \cdot (-1) = 3x^2 - 3(12 - x)^2$Раскроем скобки и упростим:$C'(x) = 3x^2 - 3(144 - 24x + x^2) = 3x^2 - 432 + 72x - 3x^2 = 72x - 432$Приравняем производную к нулю:$72x - 432 = 0$$72x = 432$$x = \frac{432}{72} = 6$Чтобы проверить, является ли эта точка точкой минимума, найдем вторую производную:$C''(x) = (72x - 432)' = 72$Так как вторая производная $C''(x) = 72 > 0$, точка $x=6$ действительно является точкой минимума.Найдем второе слагаемое:$y = 12 - x = 12 - 6 = 6$Следовательно, для того чтобы сумма кубов была наименьшей, число 12 нужно представить как сумму двух одинаковых слагаемых.
Ответ: $12 = 6 + 6$.

8. Вычислите предел:

А. $\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} - x)$;

Б. $\lim_{n \to +\infty} \frac{2x}{x^2+2}$.

А. Вычислим предел $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} - x)$.

При подстановке предельного значения $x \to +\infty$ в выражение, мы получаем неопределенность вида $\infty - \infty$. Чтобы избавиться от этой неопределенности, домножим и разделим выражение на сопряженное ему, то есть на $(\sqrt{x^2+x} + x)$.

$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2+x} - x)(\sqrt{x^2+x} + x)}{\sqrt{x^2+x} + x}$

Применим в числителе формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{x^2+x})^2 - x^2 = (x^2+x) - x^2 = x$.

После упрощения числителя предел принимает вид:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+x} + x}$

Теперь мы получили неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Для её раскрытия разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $x$, то есть на $x$. Для $x > 0$ справедливо равенство $x = \sqrt{x^2}$, поэтому можем внести $x$ под корень.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+x}}{x} + \frac{x}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2+x}{x^2}} + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}} + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1}$

Поскольку при $x \to +\infty$ величина $\frac{1}{x}$ стремится к нулю ($\frac{1}{x} \to 0$), получаем:

$\frac{1}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

Б. Вычислим предел $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x^2+2}$.

При $x \to +\infty$ числитель $2x \to \infty$ и знаменатель $x^2+2 \to \infty$. Мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $x$ в знаменателе, то есть на $x^2$.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x^2+2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2x}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2}{x}}{1 + \frac{2}{x^2}}$

Так как при $x \to +\infty$, выражения $\frac{2}{x}$ и $\frac{2}{x^2}$ стремятся к нулю:

$\frac{0}{1+0} = 0$

Также можно отметить, что степень многочлена в числителе (1) меньше степени многочлена в знаменателе (2), что означает, что при $x \to \infty$ знаменатель растет быстрее числителя, и предел их отношения равен нулю.

Ответ: $0$.