Страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Решите уравнения (1-12):

1. (2)$2\sin x - 3\cos x = 0$.

1. Дано тригонометрическое уравнение $2\sin x - 3\cos x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Для его решения разделим обе части уравнения на $\cos x$. Прежде чем выполнить деление, необходимо убедиться, что $\cos x \neq 0$.

Предположим, что $\cos x = 0$. В этом случае, из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $\sin^2 x = 1$, то есть $\sin x = 1$ или $\sin x = -1$.

Подставим значение $\cos x = 0$ в исходное уравнение:

$2\sin x - 3 \cdot 0 = 0$

$2\sin x = 0$

$\sin x = 0$

Получили противоречие, так как $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$.

$\frac{2\sin x}{\cos x} - \frac{3\cos x}{\cos x} = \frac{0}{\cos x}$

Поскольку $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$, уравнение принимает вид:

$2\tan x - 3 = 0$

Теперь решим это уравнение относительно $\tan x$:

$2\tan x = 3$

$\tan x = \frac{3}{2}$

Общее решение для $x$ находится с помощью функции арктангенса:

$x = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).

Ответ: $x = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $(2) \sin 2x + \cos 2x = 0.$

2. (2)

Дано тригонометрическое уравнение, которое, судя по нумерации, имеет вид:

$\sin 2x + \cos 2x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Для его решения можно разделить обе части уравнения на $\cos 2x$.

Прежде чем делить, необходимо убедиться, что $\cos 2x \neq 0$. Если мы предположим, что $\cos 2x = 0$, то из исходного уравнения $\sin 2x + 0 = 0$ следует, что $\sin 2x = 0$. Однако, синус и косинус одного и того же угла не могут быть одновременно равны нулю, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$. В нашем случае получилось бы $0^2 + 0^2 = 0$, что не равно 1. Следовательно, наше предположение неверно, и $\cos 2x \neq 0$.

Теперь мы можем разделить обе части уравнения на $\cos 2x$:

$\frac{\sin 2x}{\cos 2x} + \frac{\cos 2x}{\cos 2x} = \frac{0}{\cos 2x}$

Используя определение тангенса $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, получаем:

$\tan 2x + 1 = 0$

Выразим $\tan 2x$:

$\tan 2x = -1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\tan y = a$ записывается как $y = \arctan(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $y = 2x$ и $a = -1$.

$2x = \arctan(-1) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Значение арктангенса от -1 равно $-\frac{\pi}{4}$.

$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части равенства на 2:

$x = \frac{1}{2} \left(-\frac{\pi}{4} + \pi k\right)$

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. $(3)\sin^2 x - 3\sin x \cos x + 2\cos^2 x = 0.$

3. Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Его общий вид: $A\sin^2 x + B\sin x \cos x + C\cos^2 x = 0$.

Исходное уравнение: $3\sin^2 x - 3\sin x \cos x + 2\cos^2 x = 0$.

Сначала проверим, является ли $\cos x = 0$ решением уравнения. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этом случае $\sin^2 x = 1$. Подставим эти значения в исходное уравнение:

$3(1) - 3\sin x \cdot 0 + 2(0)^2 = 0$

$3 - 0 + 0 = 0$

$3 = 0$

Получено неверное равенство, следовательно, $\cos x \ne 0$. Поскольку $\cos x$ не равен нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$.

$\frac{3\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{3\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{0}{\cos^2 x}$

Используя тригонометрическое тождество $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, преобразуем уравнение:

$3\tan^2 x - 3\tan x + 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\tan x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \tan x$. Тогда уравнение принимает вид:

$3t^2 - 3t + 2 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=3$, $b=-3$, $c=2$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 9 - 24 = -15$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней для переменной $t$.

Поскольку $t = \tan x$, это означает, что не существует такого действительного значения $x$, при котором $\tan x$ удовлетворял бы этому уравнению. Следовательно, исходное тригонометрическое уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

4. (3)

$\sqrt{3}\sin x\cos x+\cos^2 x=0$

Дано тригонометрическое уравнение:

$ \sqrt{3}\sin x\cos x+\cos^{2}x=0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Для его решения вынесем общий множитель $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x(\sqrt{3}\sin x+\cos x)=0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1. $ \cos x = 0 $

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решением является серия корней:

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $

2. $ \sqrt{3}\sin x + \cos x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы его решить, разделим обе части уравнения на $ \cos x $. Мы можем это сделать, так как если предположить, что $ \cos x = 0 $, то из уравнения $ \sqrt{3}\sin x + 0 = 0 $ следовало бы, что и $ \sin x = 0 $. Однако, $ \sin x $ и $ \cos x $ не могут быть равны нулю одновременно, поскольку это противоречит основному тригонометрическому тождеству $ \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1 $. Следовательно, в этом случае $ \cos x \neq 0 $.

Разделим уравнение на $ \cos x $:

$ \frac{\sqrt{3}\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0 $

Используя определение тангенса $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, получаем:

$ \sqrt{3}\tan x + 1 = 0 $

Выразим $ \tan x $:

$ \sqrt{3}\tan x = -1 $

$ \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} $

Решением этого уравнения является серия корней:

$ x = \arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

$ x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

5. $(3)\sin^3 x + \sin^2 x \cos x - 3\sin x \cos^2 x - 3\cos^3 x = 0.$

5. Исходное уравнение $\sin^3 x + \sin^2 x \cos x - 3\sin x \cos^2 x - 3\cos^3 x = 0$ является однородным тригонометрическим уравнением третьей степени. Проверим случай $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Подставив в уравнение, получим $(\pm 1)^3 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$ и можно разделить обе части уравнения на $\cos^3 x$. Получим: $\frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} + \frac{\sin^2 x \cos x}{\cos^3 x} - \frac{3\sin x \cos^2 x}{\cos^3 x} - \frac{3\cos^3 x}{\cos^3 x} = 0$, что равносильно $\tan^3 x + \tan^2 x - 3\tan x - 3 = 0$. Сделаем замену $t = \tan x$: $t^3 + t^2 - 3t - 3 = 0$. Разложим левую часть на множители методом группировки: $t^2(t + 1) - 3(t + 1) = 0$, откуда $(t^2 - 3)(t + 1) = 0$. Корни этого уравнения: $t_1 = -1$, $t_2 = \sqrt{3}$, $t_3 = -\sqrt{3}$. Выполним обратную замену: 1) $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2) $\tan x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. 3) $\tan x = -\sqrt{3} \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$. Последние два решения можно объединить в $x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi j, j \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi j, j \in \mathbb{Z}$.

6. (3) $10\sin^2 x + 5\sin x \cos x + \cos^2 x = 3$.

Дано тригонометрическое уравнение:

$10\sin^2 x + 5\sin x \

7. $(3)1+7\cos^2 x=3\sin 2x$.

Исходное уравнение:$1+7\cos^2 x = 3\sin 2x$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$. Подставим эти выражения в уравнение:$(\sin^2 x + \cos^2 x) + 7\cos^2 x = 3(2\sin x \cos x)$

Упростим полученное выражение, сгруппировав подобные члены:$\sin^2 x + 8\cos^2 x = 6\sin x \cos x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить однородное тригонометрическое уравнение второй степени:$\sin^2 x - 6\sin x \cos x + 8\cos^2 x = 0$

Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением уравнения. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставив эти значения в уравнение, получим $1 - 0 + 0 = 0$, то есть $1=0$, что является ложным равенством. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\

8. (3)

$2\cos^2 x - 7\cos x = 2\sin^2 x$

Исходное уравнение: $2\cos^2 x - 7\cos x = 2\sin^2 x$.

Для решения приведем уравнение к одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2\cos^2 x - 7\cos x = 2(1 - \cos^2 x)$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть уравнения:

$2\cos^2 x - 7\cos x = 2 - 2\cos^2 x$

$2\cos^2 x + 2\cos^2 x - 7\cos x - 2 = 0$

$4\cos^2 x - 7\cos x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Так как область значений функции косинус от -1 до 1, то $-1 \le t \le 1$.

Получим квадратное уравнение относительно $t$:

$4t^2 - 7t - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$

Найдем корни квадратного уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{7 + 9}{8} = \frac{16}{8} = 2$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{7 - 9}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

Теперь вернемся к замене $t = \cos x$ и проанализируем полученные корни.

1. $t_1 = 2$. Уравнение $\cos x = 2$ не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$, а число 2 не входит в этот промежуток.

2. $t_2 = -1/4$. Уравнение $\cos x = -\frac{1}{4}$ имеет решения, так как $-1 \le -\frac{1}{4} \le 1$.

Общая формула для решения уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).

Применяя эту формулу, получаем решение нашего уравнения:

$x = \pm\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

9. (3) $5\sin^2 x + 5\sin x \cos x = 3$.

Дано тригонометрическое уравнение:

$5\sin^2x + 5\sin x \cos x = 3$

Для решения данного уравнения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2x + \cos^2x = 1$. Заменим число 3 в правой части уравнения на выражение $3(\sin^2x + \cos^2x)$.

$5\sin^2x + 5\sin x \cos x = 3(\sin^2x + \cos^2x)$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$5\sin^2x + 5\sin x \cos x - 3\sin^2x - 3\cos^2x = 0$

Приведем подобные члены:

$2\sin^2x + 5\sin x \cos x - 3\cos^2x = 0$

Получилось однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Чтобы его решить, нужно разделить все члены на $\cos^2x$. Предварительно убедимся, что $\cos x \neq 0$. Если предположить, что $\cos x = 0$, то из основного тригонометрического тождества следует, что $\sin^2x = 1$. Подставив $\cos x = 0$ и $\sin^2x = 1$ в полученное однородное уравнение, получим:

$2(1) + 5\sin x \cdot 0 - 3(0)^2 = 0$

$2 = 0$

Это неверное равенство, значит, наше предположение неверно и $\cos x \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить уравнение на $\cos^2x$:

$\frac{2\sin^2x}{\cos^2x} + \frac{5\sin x \cos x}{\cos^2x} - \frac{3\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

Учитывая, что $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, уравнение примет вид:

$2\tan^2x + 5\tan x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\tan x$. Сделаем замену $t = \tan x$:

$2t^2 + 5t - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$

$t_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Теперь вернемся к замене и найдем $x$:

1. $\tan x = -3$. Отсюда первая серия решений: $x = \arctan(-3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Так как $\arctan$ является нечетной функцией, $\arctan(-3) = -\arctan(3)$, поэтому $x = -\arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\tan x = \frac{1}{2}$. Отсюда вторая серия решений: $x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

10. (3) $2 + \cos^2 3x = 2,5 \sin 6x.$

Исходное уравнение: $2 + \cos^2(3x) = 2.5 \sin(6x)$.Для решения данного тригонометрического уравнения приведем все функции к одному аргументу. Воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

Применим эту формулу для $\cos^2(3x)$:$\cos^2(3x) = \frac{1 + \cos(2 \cdot 3x)}{2} = \frac{1 + \cos(6x)}{2}$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:$2 + \frac{1 + \cos(6x)}{2} = 2.5 \sin(6x)$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:$4 + 1 + \cos(6x) = 5 \sin(6x)$,$5 + \cos(6x) = 5 \sin(6x)$.

Теперь воспользуемся методом оценки, сравнив области значений левой и правой частей уравнения.

1. Оценим левую часть (ЛЧ): $5 + \cos(6x)$.
Поскольку область значений функции косинус $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos(6x) \le 1$, то для левой части получаем:$5 - 1 \le 5 + \cos(6x) \le 5 + 1$,$4 \le 5 + \cos(6x) \le 6$.
Таким образом, множество значений левой части — это отрезок $[4, 6]$.

2. Оценим правую часть (ПЧ): $5 \sin(6x)$.
Поскольку область значений функции синус $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(6x) \le 1$, то для правой части получаем:$5 \cdot (-1) \le 5 \sin(6x) \le 5 \cdot 1$,$-5 \le 5 \sin(6x) \le 5$.
Таким образом, множество значений правой части — это отрезок $[-5, 5]$.

Равенство $ЛЧ = ПЧ$ возможно только в том случае, если их значения совпадают. Это может произойти только для значений, которые принадлежат пересечению их областей значений: $[4, 6] \cap [-5, 5]$. Единственное число, которое входит в оба отрезка, — это 5.

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений:$\begin{cases} 5 + \cos(6x) = 5 \\ 5 \sin(6x) = 5 \end{cases}$,что упрощается до:$\begin{cases} \cos(6x) = 0 \\ \sin(6x) = 1 \end{cases}$.

Условие $\cos(6x) = 0$ является следствием условия $\sin(6x) = 1$ (согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$). Поэтому для нахождения решения достаточно решить одно уравнение:$\sin(6x) = 1$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение имеет вид:$6x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив обе части на 6, найдем $x$:$x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{6}$,$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

11. (3)

$2\sin 4x - 3\sin^2 2x = 1$

11. (3)

Дано тригонометрическое уравнение:

$2\sin{4x} - 3\sin^2{2x} = 1$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$. В нашем случае аргумент двойного угла равен $4x$, поэтому $\alpha = 2x$. Следовательно, $\sin{4x} = 2\sin{2x}\cos{2x}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2(2\sin{2x}\cos{2x}) - 3\sin^2{2x} = 1$

$4\sin{2x}\cos{2x} - 3\sin^2{2x} = 1$

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$. Заменим $1$ в правой части уравнения на выражение $\sin^2{2x} + \cos^2{2x}$:

$4\sin{2x}\cos{2x} - 3\sin^2{2x} = \sin^2{2x} + \cos^2{2x}$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, например, вправо, чтобы получить однородное уравнение:

$0 = \cos^2{2x} + \sin^2{2x} + 3\sin^2{2x} - 4\sin{2x}\cos{2x}$

Приведем подобные слагаемые:

$\cos^2{2x} - 4\sin{2x}\cos{2x} + 4\sin^2{2x} = 0$

Полученное выражение является полным квадратом разности. Его можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = \cos{2x}$ и $b = 2\sin{2x}$:

$(\cos{2x} - 2\sin{2x})^2 = 0$

Это уравнение равносильно тому, что выражение в скобках равно нулю:

$\cos{2x} - 2\sin{2x} = 0$

Перенесем $2\sin{2x}$ в правую часть:

$\cos{2x} = 2\sin{2x}$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части уравнения на $\cos{2x}$. Мы можем это сделать, так как если предположить, что $\cos{2x} = 0$, то из уравнения $\cos{2x} = 2\sin{2x}$ следовало бы, что $2\sin{2x} = 0$, то есть $\sin{2x}=0$. Однако $\sin{2x}$ и $\cos{2x}$ не могут быть равны нулю одновременно, поскольку $\sin^2{2x} + \cos^2{2x} = 1$. Следовательно, $\cos{2x} \ne 0$.

$\frac{\cos{2x}}{\cos{2x}} = \frac{2\sin{2x}}{\cos{2x}}$

$1 = 2\tan{2x}$

Отсюда находим $\tan{2x}$:

$\tan{2x} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем общее решение для $x$, используя определение арктангенса:

$2x = \arctan{\frac{1}{2}} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 2, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{1}{2}\arctan{\frac{1}{2}} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2}\arctan{\frac{1}{2}} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

12. (3) $6 \sin^2 2x + 4 \cos^2 2x - 4 \sin 4x = 1$

Исходное уравнение:

$6 \sin^2 2x + 4 \cos^2 2x - 4 \sin 4x = 1$

Для решения преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества. Представим $6 \sin^2 2x$ как $2 \sin^2 2x + 4 \sin^2 2x$ и сгруппируем слагаемые:

$2 \sin^2 2x + (4 \sin^2 2x + 4 \cos^2 2x) - 4 \sin 4x = 1$

Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$2 \sin^2 2x + 4(\sin^2 2x + \cos^2 2x) - 4 \sin 4x = 1$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$2 \sin^2 2x + 4(1) - 4 \sin 4x = 1$

$2 \sin^2 2x + 4 - 4 \sin 4x = 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$2 \sin^2 2x - 4 \sin 4x + 3 = 0$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$:

$2 \sin^2 2x - 4(2 \sin 2x \cos 2x) + 3 = 0$

$2 \sin^2 2x - 8 \sin 2x \cos 2x + 3 = 0$

Чтобы привести уравнение к однородному виду, заменим 3 на $3 \cdot 1 = 3(\sin^2 2x + \cos^2 2x)$:

$2 \sin^2 2x - 8 \sin 2x \cos 2x + 3(\sin^2 2x + \cos^2 2x) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2 \sin^2 2x - 8 \sin 2x \cos 2x + 3 \sin^2 2x + 3 \cos^2 2x = 0$

$5 \sin^2 2x - 8 \sin 2x \cos 2x + 3 \cos^2 2x = 0$

Проверим, является ли $\cos 2x = 0$ решением. Если $\cos 2x = 0$, то $\sin^2 2x = 1$. Подставляя в уравнение, получаем $5(1) - 0 + 0 = 0$, то есть $5=0$, что является неверным равенством. Значит, $\cos 2x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 2x$:

$\frac{5 \sin^2 2x}{\cos^2 2x} - \frac{8 \sin 2x \cos 2x}{\cos^2 2x} + \frac{3 \cos^2 2x}{\cos^2 2x} = 0$

$5 \tan^2 2x - 8 \tan 2x + 3 = 0$

Сделаем замену переменной $t = \tan 2x$. Получаем квадратное уравнение:

$5t^2 - 8t + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$t_2 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 2}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Теперь выполним обратную замену для каждого корня.

1) $\tan 2x = 1$

$2x = \arctan(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan 2x = \frac{3}{5}$

$2x = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{3}{5}\right) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad x = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{3}{5}\right) + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

Решите уравнения (13-24):

13. (2)
$3\sin x + \cos x = 0$

13. (2)

Дано тригонометрическое уравнение:

$3\sin x + \cos x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Для его решения разделим обе части уравнения на $\cos x$. Прежде чем это сделать, необходимо убедиться, что $\cos x \neq 0$.

Предположим, что $\cos x = 0$. Тогда, согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, имеем $\sin^2 x + 0^2 = 1$, откуда $\sin^2 x = 1$, то есть $\sin x = \pm 1$.

Подставим $\cos x = 0$ и $\sin x = \pm 1$ в исходное уравнение:

$3(\pm 1) + 0 = \pm 3$

Так как $\pm 3 \neq 0$, наше предположение неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$ без потери корней.

$\frac{3\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = \frac{0}{\cos x}$

Используя определение тангенса $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем:

$3\tan x + 1 = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно $\tan x$:

$3\tan x = -1$

$\tan x = -\frac{1}{3}$

Общее решение для уравнения $\tan x = a$ имеет вид $x = \arctan(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В нашем случае:

$x = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство нечетности арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, можно записать ответ в виде:

$x = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

14. (3) $\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}=0$. Определите число корней на отрезке $[-5\pi; 5\pi]$.

Для решения данного тригонометрического уравнения $sin\frac{x}{2} + cos\frac{x}{2} = 0$ разделим обе его части на $cos\frac{x}{2}$.

Это действие является корректным, так как если предположить, что $cos\frac{x}{2} = 0$, то из исходного уравнения получится, что и $sin\frac{x}{2} = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут одновременно равняться нулю, что следует из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Следовательно, $cos\frac{x}{2} \neq 0$.

После деления получим:

$\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}} + \frac{cos\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}} = 0$

$tan\frac{x}{2} + 1 = 0$

$tan\frac{x}{2} = -1$

Теперь найдем общее решение этого уравнения.

$\frac{x}{2} = arctan(-1) + \pi n$, где $n \in Z$.

$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Выразим $x$, умножив обе части на 2:

$x = 2 \cdot (-\frac{\pi}{4} + \pi n)$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Далее необходимо определить, сколько корней принадлежит отрезку $[-5\pi; 5\pi]$. Для этого решим двойное неравенство относительно $n$:

$-5\pi \le -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 5\pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$ (так как $\pi > 0$, знаки неравенства не меняются):

$-5 \le -\frac{1}{2} + 2n \le 5$

Прибавим $\frac{1}{2}$ ко всем частям неравенства:

$-5 + \frac{1}{2} \le 2n \le 5 + \frac{1}{2}$

$-4.5 \le 2n \le 5.5$

Разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{4.5}{2} \le n \le \frac{5.5}{2}$

$-2.25 \le n \le 2.75$

Поскольку $n$ является целым числом ($n \in Z$), то в данный промежуток попадают следующие значения $n$:

$n = -2, -1, 0, 1, 2$.

Всего мы получили 5 возможных целых значений для $n$. Каждое значение $n$ соответствует одному уникальному корню на заданном отрезке. Таким образом, число корней уравнения на отрезке $[-5\pi; 5\pi]$ равно 5.

Ответ: 5.

15. (3) $\sin^4 2x - \sin^2 4x + 3\cos^4 2x = 0$

Исходное уравнение:

$ \sin^4 2x - \sin^2 4x + 3\cos^4 2x = 0 $

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $. Применим ее к члену $ \sin 4x $:

$ \sin 4x = \sin(2 \cdot 2x) = 2\sin 2x \cos 2x $

Следовательно, квадрат этого выражения будет:

$ \sin^2 4x = (2\sin 2x \cos 2x)^2 = 4\sin^2 2x \cos^2 2x $

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$ \sin^4 2x - 4\sin^2 2x \cos^2 2x + 3\cos^4 2x = 0 $

Мы получили однородное тригонометрическое уравнение четвертой степени относительно $ \sin 2x $ и $ \cos 2x $.

Проверим, является ли $ \cos 2x = 0 $ решением. Если $ \cos 2x = 0 $, то $ \cos^4 2x = 0 $. Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 2x + \cos^2 2x = 1 $ следует, что $ \sin^2 2x = 1 $, и, соответственно, $ \sin^4 2x = 1 $.

Подставив эти значения в преобразованное уравнение, получим:

$ 1 - 4(1)(0) + 3(0) = 1 \neq 0 $

Таким образом, $ \cos 2x \neq 0 $, и мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^4 2x $:

$ \frac{\sin^4 2x}{\cos^4 2x} - \frac{4\sin^2 2x \cos^2 2x}{\cos^4 2x} + \frac{3\cos^4 2x}{\cos^4 2x} = 0 $

Используя определение тангенса $ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, перепишем уравнение:

$ \tan^4 2x - 4\tan^2 2x + 3 = 0 $

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену: пусть $ t = \tan^2 2x $. Поскольку квадрат числа не может быть отрицательным, $ t \ge 0 $.

Получаем квадратное уравнение относительно $ t $:

$ t^2 - 4t + 3 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корни уравнения:

$ t_1 = 1 $

$ t_2 = 3 $

Оба корня удовлетворяют условию $ t \ge 0 $. Выполним обратную замену для каждого корня.

1. Рассматриваем случай $ t_1 = 1 $:

$ \tan^2 2x = 1 $

Это равносильно совокупности двух уравнений:

$ \tan 2x = 1 \quad \text{или} \quad \tan 2x = -1 $

Решения этих уравнений:

$ 2x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

$ 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Эти две серии решений можно объединить в одну формулу: $ 2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2} $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Отсюда находим первую серию корней для $ x $:

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{4}, \quad m \in \mathbb{Z} $

2. Рассматриваем случай $ t_2 = 3 $:

$ \tan^2 2x = 3 $

Это равносильно совокупности двух уравнений:

$ \tan 2x = \sqrt{3} \quad \text{или} \quad \tan 2x = -\sqrt{3} $

Решения этих уравнений:

$ 2x = \frac{\pi}{3} + \pi p, \quad p \in \mathbb{Z} $

$ 2x = -\frac{\pi}{3} + \pi q, \quad q \in \mathbb{Z} $

Эти две серии можно объединить в одну формулу: $ 2x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Отсюда находим вторую серию корней для $ x $:

$ x = \pm\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ \frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{4}; \pm\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \quad m, k \in \mathbb{Z}. $

16. (3)

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \cos^2 \frac{x}{2} = 0$. Определите сумму корней на отрезке $[2\pi, 3\pi]$.

Для решения уравнения $ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \cos^2\frac{x}{2} = 0 $ приведем все тригонометрические функции к одному аргументу. Воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $ \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2} $.

Подставим это выражение в исходное уравнение:$ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1+\cos x}{2} = 0 $

Умножим обе части уравнения на 2:$ \sqrt{3}\sin x - (1+\cos x) = 0 $$ \sqrt{3}\sin x - \cos x = 1 $

Получили линейное тригонометрическое уравнение. Для его решения применим метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $ \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2 $:$ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x = \frac{1}{2} $

Заметим, что $ \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6} $ и $ \frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6} $. Уравнение можно переписать, используя формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $:$ \sin x \cos\frac{\pi}{6} - \cos x \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $$ \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $

Решения этого простейшего тригонометрического уравнения задаются совокупностью:$ \left[ \begin{gathered} x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \\ x - \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \end{gathered} \right. $ где $ k \in \mathbb{Z} $.

Из первого уравнения совокупности получаем первую серию корней:$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Из второго уравнения совокупности получаем вторую серию корней:$ x = \pi - \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $ [2\pi, 3\pi] $.Для первой серии корней $ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $ решим неравенство:$ 2\pi \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k \le 3\pi $$ 2 \le \frac{1}{3} + 2k \le 3 $$ \frac{5}{3} \le 2k \le \frac{8}{3} $$ \frac{5}{6} \le k \le \frac{4}{3} $Единственное целое значение $ k $ в этом интервале — $ k=1 $. Соответствующий корень: $ x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi(1) = \frac{7\pi}{3} $.

Для второй серии корней $ x = \pi + 2\pi k $ решим неравенство:$ 2\pi \le \pi + 2\pi k \le 3\pi $$ 1 \le 2k \le 2 $$ \frac{1}{2} \le k \le 1 $Единственное целое значение $ k $ в этом интервале — $ k=1 $. Соответствующий корень: $ x_2 = \pi + 2\pi(1) = 3\pi $.

На отрезке $ [2\pi, 3\pi] $ уравнение имеет два корня: $ \frac{7\pi}{3} $ и $ 3\pi $.Найдем их сумму:$ \frac{7\pi}{3} + 3\pi = \frac{7\pi}{3} + \frac{9\pi}{3} = \frac{16\pi}{3} $.

Ответ: $ \frac{16\pi}{3} $.

17. (3) $\sin^4 x \cos^2 x - 3 \sin^2 x \cos^4 x - 2 \sin^3 x \cos^3 x = 0$

Исходное уравнение:

$3\sin^4x\cos^2x - 3\sin^2x\cos^4x - 2\sin^3x\cos^3x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin^2x\cos^2x$ за скобки:

$\sin^2x\cos^2x(3\sin^2x - 3\cos^2x - 2\sin x\cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений.

1. Первое уравнение:

$\sin^2x\cos^2x = 0$

Это уравнение равносильно тому, что $\sin x \cos x = 0$.

Это означает, что либо $\sin x = 0$, либо $\cos x = 0$.

Решения для $\sin x = 0$ имеют вид $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решения для $\cos x = 0$ имеют вид $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну общую серию: $x = \frac{m\pi}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

2. Второе уравнение:

$3\sin^2x - 3\cos^2x - 2\sin x\cos x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Чтобы его решить, сначала проверим, может ли $\cos x$ быть равным нулю. Если предположить, что $\cos x = 0$, то уравнение примет вид $3\sin^2x - 0 - 0 = 0$, что влечет за собой $\sin x = 0$. Однако, $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю, так как основное тригонометрическое тождество гласит $\sin^2x + \cos^2x = 1$. Следовательно, в этом уравнении $\cos x \neq 0$.

Поскольку $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2x$:

$\frac{3\sin^2x}{\cos^2x} - \frac{3\cos^2x}{\cos^2x} - \frac{2\sin x\cos x}{\cos^2x} = 0$

$3\tan^2x - 3 - 2\tan x = 0$

Перепишем уравнение в стандартном виде относительно $\tan x$:

$3\tan^2x - 2\tan x - 3 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $t = \tan x$. Тогда получим квадратное уравнение:

$3t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Сначала найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 4 + 36 = 40$

Теперь найдем значения $t$:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{3}$

Мы получили два возможных значения для $t$. Вернемся к исходной переменной $x$:

$\tan x = \frac{1 + \sqrt{10}}{3}$ или $\tan x = \frac{1 - \sqrt{10}}{3}$

Из этих уравнений получаем еще две серии решений:

$x = \arctan\left(\frac{1 + \sqrt{10}}{3}\right) + p\pi, p \in \mathbb{Z}$

$x = \arctan\left(\frac{1 - \sqrt{10}}{3}\right) + q\pi, q \in \mathbb{Z}$

Объединяя все найденные решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{m\pi}{2}$; $x = \arctan\left(\frac{1 + \sqrt{10}}{3}\right) + p\pi$; $x = \arctan\left(\frac{1 - \sqrt{10}}{3}\right) + q\pi$, где $m, p, q \in \mathbb{Z}$.

18. (3) $5\sin^2 x - 5\sin x \cos x + 8\cos^2 x = 4.$

Дано тригонометрическое уравнение:

$5\sin^2 x - 5\sin x \cos x + 8\cos^2 x = 4$

Это уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени, но с ненулевой правой частью. Чтобы привести его к стандартному виду, используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ для преобразования числа 4 в правой части.

$4 = 4 \cdot 1 = 4(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$5\sin^2 x - 5\sin x \cos x + 8\cos^2 x = 4\sin^2 x + 4\cos^2 x$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую и приведем подобные члены:

$(5\sin^2 x - 4\sin^2 x) - 5\sin x \cos x + (8\cos^2 x - 4\cos^2 x) = 0$

$\sin^2 x - 5\sin x \cos x + 4\cos^2 x = 0$

Мы получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Для его решения необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: $\cos x = 0$.

Если $\cos x = 0$, то при подстановке в уравнение $\sin^2 x - 5\sin x \cdot 0 + 4 \cdot 0^2 = 0$ получаем $\sin^2 x = 0$, что означает $\sin x = 0$. Однако, $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ($0^2 + 0^2 \neq 1$). Следовательно, решения в этом случае отсутствуют, и $\cos x \neq 0$.

Случай 2: $\cos x \neq 0$.

Поскольку $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{5\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{4\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

Используя определение тангенса $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем:

$\tan^2 x - 5\tan x + 4 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\tan x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \tan x$.

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Легко подобрать корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = 4$

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных корней.

1) $\tan x = 1$

$x = \arctan(1) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\tan x = 4$

$x = \arctan(4) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Это решение нельзя упростить, так как 4 не является табличным значением тангенса.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, $x = \arctan(4) + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

19. (3)
$1 - \cos 2x = 3\sin 2x - 4\sin^2 x$

Исходное уравнение:

$1 - \cos(2x) = 3\sin(2x) - 4\sin^2(x)$

Для решения этого тригонометрического уравнения воспользуемся формулами двойного угла. В частности, применим формулу понижения степени для левой части: $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2(\alpha)$.

Подставив это в уравнение, получаем:

$2\sin^2(x) = 3\sin(2x) - 4\sin^2(x)$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы собрать все слагаемые вместе:

$2\sin^2(x) + 4\sin^2(x) - 3\sin(2x) = 0$

$6\sin^2(x) - 3\sin(2x) = 0$

Теперь применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

$6\sin^2(x) - 3(2\sin(x)\cos(x)) = 0$

$6\sin^2(x) - 6\sin(x)\cos(x) = 0$

Вынесем общий множитель $6\sin(x)$ за скобки:

$6\sin(x)(\sin(x) - \cos(x)) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум отдельным уравнениям:

1. $6\sin(x) = 0$

$\sin(x) = 0$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

2. $\sin(x) - \cos(x) = 0$

$\sin(x) = \cos(x)$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Заметим, что $\cos(x)$ не может быть равен нулю, так как если $\cos(x) = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $\sin(x) = 0$, что невозможно одновременно, поскольку основное тригонометрическое тождество гласит $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos(x)$:

$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 1$

$\tan(x) = 1$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = \arctan(1) + \pi k$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный набор решений исходного уравнения.

Ответ: $x = \pi n$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

20. (3) $4 \cos^2 x = \sin x - \sin^2 x$. Найдите наибольший корень, который меньше, чем $3\pi$.

Дано тригонометрическое уравнение $4\cos^2 x = \sin x - \sin^2 x$. Необходимо найти его наибольший корень, который меньше, чем $3\pi$.

Для решения уравнения приведем его к одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:$4(1 - \sin^2 x) = \sin x - \sin^2 x$

Раскроем скобки и перенесем все члены в одну часть уравнения:$4 - 4\sin^2 x = \sin x - \sin^2 x$$4 - 4\sin^2 x - \sin x + \sin^2 x = 0$$-3\sin^2 x - \sin x + 4 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы коэффициент при старшей степени был положительным:$3\sin^2 x + \sin x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sin x$. Учитывая, что область значений функции синус от -1 до 1 включительно, имеем ограничение $-1 \le t \le 1$.

Получаем и решаем квадратное уравнение:$3t^2 + t - 4 = 0$Найдем дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения для $t$:$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Теперь вернемся к замене, учитывая ограничение $-1 \le t \le 1$:1. $t_1 = 1$. Этот корень удовлетворяет условию, так как $-1 \le 1 \le 1$.2. $t_2 = -\frac{4}{3}$. Этот корень не удовлетворяет условию, так как $-\frac{4}{3} < -1$. Следовательно, он является посторонним.

Остается решить простейшее тригонометрическое уравнение:$\sin x = 1$

Решения этого уравнения имеют вид:$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь нам нужно найти наибольший корень, который меньше $3\pi$. Будем перебирать целочисленные значения $k$:

• При $k = 0$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$. Это значение меньше $3\pi$ ($\frac{1}{2}\pi < 3\pi$).
• При $k = 1$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1 = \frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$. Это значение меньше $3\pi$ ($\frac{5}{2}\pi < 3\pi$, так как $2.5 < 3$).
• При $k = 2$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 2 = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}$. Это значение больше $3\pi$ ($\frac{9}{2}\pi > 3\pi$, так как $4.5 > 3$).
• При отрицательных $k$ (например, $k=-1$) корни будут еще меньше: $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$.

Сравнивая полученные корни, удовлетворяющие условию ($...; -\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}$), видим, что наибольшим из них является $\frac{5\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{2}$