Страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

7. На рисунке изображена часть графика функции, имеющей период $T$. Достройте график этой функции на промежутке $[-T; 2T]$. Какой является данная функция-четной или нечетной?

А.

Б.

А.

Поскольку функция является периодической с периодом $T$, её график на всём числовом промежутке получается путем повторения (сдвига) исходного фрагмента, заданного на отрезке $[0; T]$. Чтобы достроить график на промежутке $[-T; 2T]$, мы должны скопировать данный фрагмент на соседние интервалы: на $[-T; 0]$ и на $[T; 2T]$.

Для определения чётности функции необходимо проверить её график на симметрию.

• Чётная функция симметрична относительно оси ординат (оси $Oy$), для неё выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• Нечётная функция симметрична относительно начала координат (точки $(0,0)$), для неё выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Рассмотрим достроенный график функции А. Мы видим, что он симметричен относительно начала координат. Например, значению $x = T/4$ соответствует положительный максимум, а значению $x = -T/4$ соответствует отрицательный минимум, причём эти экстремумы равны по модулю. Свойство $f(-x) = -f(x)$ выполняется для всех точек графика. Следовательно, функция является нечётной.

Ответ: функция является нечётной.

Б.

Аналогично предыдущему пункту, достраиваем график, повторяя заданный на отрезке $[0; T]$ фрагмент в виде треугольника на соседние интервалы $[-T; 0]$ и $[T; 2T]$.

Проверим чётность полученной функции. Достроенный график будет симметричен относительно оси ординат ($Oy$). Например, значение функции в точке $x = T/4$ равно значению в точке $x = 3T/4$ из-за симметрии треугольника на отрезке $[0; T]$ относительно прямой $x = T/2$. Чтобы найти значение в точке $x = -T/4$, воспользуемся периодичностью: $f(-T/4) = f(-T/4 + T) = f(3T/4)$. Таким образом, мы получаем, что $f(-T/4) = f(T/4)$. Это равенство $f(-x) = f(x)$ выполняется для всех точек графика. Следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция является чётной.

8. А. При формировании экипажа космического корабля имеется 10 претендентов на пост командира корабля, 20 – на пост бортинженера, 25 – на пост космонавта-исследователя. Ни один кандидат не претендует одновременно на два поста. Сколькими способами можно выбрать одну из кандидатур или командира, или бортинженера, или космонавта-исследователя?

Б. Сколько двухзначных чисел можно записать в десятичной системе счисления?

А. Для решения этой задачи используется правило суммы из комбинаторики. Нам нужно выбрать одного кандидата из трех различных, непересекающихся групп. Поскольку каждый кандидат претендует только на один пост, выбор кандидата на одну должность исключает его из рассмотрения на другие должности.
Пусть $N_1$ — количество кандидатов на пост командира, $N_2$ — на пост бортинженера, и $N_3$ — на пост космонавта-исследователя.
По условию задачи:
$N_1 = 10$
$N_2 = 20$
$N_3 = 25$
Общее число способов выбрать одного кандидата (или командира, или бортинженера, или космонавта-исследователя) равно сумме числа кандидатов в каждой группе:
$N = N_1 + N_2 + N_3 = 10 + 20 + 25 = 55$
Ответ: 55.

Б. Двузначное число в десятичной системе состоит из двух цифр: цифры десятков и цифры единиц.
Для первой цифры (разряд десятков) можно использовать любую цифру от 1 до 9, так как она не может быть нулем (иначе число будет однозначным). Таким образом, для первой цифры существует 9 вариантов.
Для второй цифры (разряд единиц) можно использовать любую цифру от 0 до 9. Таким образом, для второй цифры существует 10 вариантов.
Поскольку выбор первой и второй цифры — это независимые события, общее количество возможных двузначных чисел находится по правилу произведения в комбинаторике. Мы умножаем количество вариантов для каждой позиции:
$K = 9 \times 10 = 90$
Альтернативный способ — посчитать количество чисел от наименьшего двузначного (10) до наибольшего (99) включительно: $99 - 10 + 1 = 90$.
Ответ: 90.

1. Найдите производную функций $y=f(x)$:

А. $y=(2x+1)^{10}$;

Б. $f(x) = \sqrt{3x-7}. $

А.

Для нахождения производной функции $y=(2x+1)^{10}$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). Функция имеет вид $y=u^n$, где $u=2x+1$ и $n=10$. Производная такой функции находится по формуле: $y' = (u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.
1. Сначала найдем производную внутренней функции $u(x) = 2x+1$:
$u' = (2x+1)' = (2x)' + (1)' = 2 + 0 = 2$.
2. Теперь применим формулу для производной сложной функции:
$y' = 10 \cdot (2x+1)^{10-1} \cdot (2x+1)'$.
3. Подставим найденную производную внутренней функции:
$y' = 10 \cdot (2x+1)^9 \cdot 2$.
4. Упростим полученное выражение:
$y' = 20(2x+1)^9$.
Ответ: $y' = 20(2x+1)^9$.

Б.

Для нахождения производной функции $f(x)=\sqrt{3x-7}$ также используем правило дифференцирования сложной функции. Функция имеет вид $f(x)=\sqrt{u}$, где $u=3x-7$. Производная такой функции находится по формуле: $f'(x) = (\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$.
1. Сначала найдем производную внутренней функции $u(x) = 3x-7$:
$u' = (3x-7)' = (3x)' - (7)' = 3 - 0 = 3$.
2. Теперь применим формулу для производной корня из функции:
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x-7}} \cdot (3x-7)'$.
3. Подставим найденную производную внутренней функции:
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x-7}} \cdot 3$.
4. Упростим полученное выражение:
$f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x-7}}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x-7}}$.

2. С помощью элементарных преобразований постройте график функций:

А. $y=-x^2+4|x|+5;$

Б. $y=\cos2x+1.$

А. $y = -x^2 + 4|x| + 5$

Для построения графика данной функции воспользуемся элементарными преобразованиями.

1. Заметим, что функция является четной, так как $x^2 = |x|^2$. Мы можем переписать ее как $y = -|x|^2 + 4|x| + 5$. Это означает, что $y(x) = y(-x)$, и ее график симметричен относительно оси Oy. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси Oy.

2. При $x \ge 0$, модуль $|x|$ раскрывается как $x$, и функция принимает вид: $y = -x^2 + 4x + 5$.

3. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). Для удобства построения выделим полный квадрат:

$y = -(x^2 - 4x) + 5 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5 = -(x-2)^2 + 4 + 5 = -(x-2)^2 + 9$.

4. График функции $y = -(x-2)^2 + 9$ получается из графика базовой параболы $y=x^2$ следующей последовательностью преобразований:

а) $y_1 = x^2$ – базовая парабола с вершиной в точке $(0, 0)$.

б) $y_2 = -x^2$ – отражение графика $y_1$ относительно оси Ox.

в) $y_3 = -(x-2)^2$ – сдвиг графика $y_2$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

г) $y_4 = -(x-2)^2 + 9$ – сдвиг графика $y_3$ на 9 единиц вверх вдоль оси Oy.

Вершина этой параболы находится в точке $(2, 9)$.

5. Строим график параболы $y = -(x-2)^2 + 9$, но только для области $x \ge 0$. Эта часть графика начинается в точке $(0, 5)$ (пересечение с осью Oy), поднимается до вершины в точке $(2, 9)$ и затем опускается, пересекая ось Ox в точке $(5, 0)$ (корень уравнения $-x^2+4x+5=0$ равен $x=5$).

6. Теперь, используя свойство четности, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy. Получаем вторую половину графика для $x < 0$. Она будет иметь вершину в точке $(-2, 9)$ и пересекать ось Ox в точке $(-5, 0)$.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 4|x| + 5$ состоит из двух дуг парабол, симметричных относительно оси Oy. Вершины парабол находятся в точках $(2, 9)$ и $(-2, 9)$. График пересекает ось Oy в точке $(0, 5)$, а ось Ox в точках $(-5, 0)$ и $(5, 0)$.

Б. $y = \cos 2x + 1$

Для построения графика функции $y = \cos 2x + 1$ выполним последовательные элементарные преобразования над графиком базовой функции $y = \cos x$.

1. Построение графика $y_1 = \cos x$. Это стандартная косинусоида. Ее основные свойства: период $T=2\pi$, амплитуда равна 1, область значений $[-1, 1]$. Ключевые точки на одном периоде: $(0, 1)$, $(\pi/2, 0)$, $(\pi, -1)$, $(3\pi/2, 0)$, $(2\pi, 1)$.

2. Преобразование в $y_2 = \cos 2x$. Это преобразование вида $f(kx)$. Оно соответствует сжатию графика $y_1 = \cos x$ по горизонтали (к оси Oy) в 2 раза. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Амплитуда и область значений остаются прежними. Ключевые точки нового графика: $(0, 1)$, $(\pi/4, 0)$, $(\pi/2, -1)$, $(3\pi/4, 0)$, $(\pi, 1)$.

3. Преобразование в $y = \cos 2x + 1$. Это преобразование вида $f(x) + c$. Оно соответствует сдвигу графика $y_2 = \cos 2x$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

- Ось симметрии (средняя линия) графика смещается с $y=0$ на $y=1$.

- Область значений смещается на 1 вверх и становится $[0, 2]$.

- Все точки графика смещаются на 1 единицу вверх. Новые ключевые точки: $(0, 2)$, $(\pi/4, 1)$, $(\pi/2, 0)$, $(3\pi/4, 1)$, $(\pi, 2)$.

Ответ: График функции $y = \cos 2x + 1$ – это косинусоида, сжатая в 2 раза по горизонтали и сдвинутая на 1 единицу вверх. Период функции равен $\pi$, область значений – $[0, 2]$. Максимумы функции равны 2 (в точках $x = k\pi$), а минимумы равны 0 (в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$), где $k$ – любое целое число.

3. Решите уравнения:

А. $\sin \frac{x}{4}+\cos \frac{x}{4}=1$;

Б. $\sqrt{3} \sin 2x - \cos 2x - 2 = 0.$

А. Решим уравнение $\sin\frac{x}{4} + \cos\frac{x}{4} = 1$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Для его решения используем метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{x}{4} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\frac{x}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, можем переписать уравнение, используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:

$\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{x}{4} + \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{x}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Решения этого уравнения распадаются на две серии (где $k \in \mathbb{Z}$):

1) $\frac{x}{4}+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$\frac{x}{4} = 2\pi k$
$x = 8\pi k$

2) $\frac{x}{4}+\frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$\frac{x}{4}+\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
$\frac{x}{4} = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$\frac{x}{4} = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$x = 2\pi + 8\pi k$

Ответ: $x = 8\pi k; \quad x = 2\pi + 8\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Б. Решим уравнение $\sqrt{3}\sin2x - \cos2x - 2 = 0$.

Перенесем 2 в правую часть: $\sqrt{3}\sin2x - \cos2x = 2$.

Это также уравнение, решаемое методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x - \frac{1}{2}\cos2x = 1$

Заметим, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Подставим эти значения и применим формулу синуса разности $\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:

$\sin2x\cos\frac{\pi}{6} - \cos2x\sin\frac{\pi}{6} = 1$

$\sin(2x - \frac{\pi}{6}) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$2x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выразим $x$:

$2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$2x = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{4\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4. Решите неравенства:

А. $\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4}-\sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Б. $-4\sin 2x \cos 2x \ge \sqrt{2}$

А.

Рассмотрим неравенство $ \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4} - \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Сначала упростим левую часть. Вычислим значение произведения $ \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4} $. Известно, что $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Следовательно, $ \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Другой способ — использовать формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, из которой следует $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $. При $ \alpha = \frac{\pi}{4} $ получаем: $ \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $.

Подставим полученное значение в исходное неравенство:

$ \frac{1}{2} - \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Теперь выразим $ \sin x $:

$ -\sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} $

Умножим обе части неравенства на -1, не забыв изменить знак неравенства на противоположный:

$ \sin x > \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} $

$ \sin x > \frac{1+\sqrt{2}}{2} $

Область значений функции $ y = \sin x $ — это отрезок $ [-1, 1] $. Оценим значение в правой части неравенства. Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ \frac{1+\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1+1.414}{2} = \frac{2.414}{2} = 1.207 $.

Поскольку $ \frac{1+\sqrt{2}}{2} > 1 $, а значение $ \sin x $ не может превышать 1, неравенство $ \sin x > \frac{1+\sqrt{2}}{2} $ не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Б.

Рассмотрим неравенство $ -4\sin 2x \cos 2x \ge \sqrt{2} $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Преобразуем левую часть неравенства. Если принять $ \alpha = 2x $, то $ 2\sin 2x \cos 2x = \sin(2 \cdot 2x) = \sin(4x) $.

Тогда $ -4\sin 2x \cos 2x = -2 \cdot (2\sin 2x \cos 2x) = -2\sin(4x) $.

Неравенство принимает вид:

$ -2\sin(4x) \ge \sqrt{2} $

Разделим обе части на -2 и изменим знак неравенства на противоположный:

$ \sin(4x) \le -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Введем новую переменную $ t = 4x $. Неравенство примет вид $ \sin t \le -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. На тригонометрической окружности значениям $t$, для которых $ \sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, соответствуют углы $ t = -\frac{\pi}{4} $ и $ t = -\frac{3\pi}{4} $.

Неравенству $ \sin t \le -\frac{\sqrt{2}}{2} $ удовлетворяют все точки на дуге окружности, расположенной ниже прямой $ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Следовательно, решение для $t$ можно записать в виде двойного неравенства (с учетом периодичности):

$ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le t \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Произведем обратную замену $ t = 4x $:

$ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le 4x \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi n $

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 4:

$ \frac{1}{4} \left(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n\right) \le x \le \frac{1}{4} \left(-\frac{\pi}{4} + 2\pi n\right) $

$ -\frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{2} \le x \le -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in [-\frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}; -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}], \quad n \in \mathbb{Z} $.

5. Решите уравнения:

А. $(\mathrm{arcctgx})^2 -6\mathrm{arcctgx}+8=0;$

Б. $2(\mathrm{arcctgx})^2 -5\mathrm{arcctgx}+2=0.$

А. $(\text{arcctg} x)^2 - 6 \text{arcctg} x + 8 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\text{arcctg} x$. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = \text{arcctg} x$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 - 6y + 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Отсюда находим корни:

$y_1 = 2$

$y_2 = 4$

Теперь необходимо выполнить обратную замену, то есть вернуться к переменной $x$:

1) $\text{arcctg} x = 2$

2) $\text{arcctg} x = 4$

При решении уравнений с обратными тригонометрическими функциями важно помнить об их области значений. Область значений функции арккотангенс: $E(\text{arcctg} x) = (0; \pi)$.

Проверим, удовлетворяют ли наши корни этому условию (примем $\pi \approx 3.14$):

Корень $y_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $0 < 2 < \pi$. Следовательно, уравнение $\text{arcctg} x = 2$ имеет решение.

Корень $y_2 = 4$ не удовлетворяет условию, так как $4 > \pi$. Следовательно, уравнение $\text{arcctg} x = 4$ не имеет решений.

Остается найти $x$ из уравнения $\text{arcctg} x = 2$. По определению арккотангенса:

$x = \text{ctg}(2)$

Ответ: $x = \text{ctg}(2)$.

Б. $2(\text{arcctg} x)^2 - 5 \text{arcctg} x + 2 = 0$

Это также квадратное уравнение относительно $\text{arcctg} x$. Произведем замену переменной: $y = \text{arcctg} x$.

$2y^2 - 5y + 2 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Выполним обратную замену:

1) $\text{arcctg} x = 2$

2) $\text{arcctg} x = \frac{1}{2}$

Проверим оба значения на принадлежность области значений арккотангенса $(0; \pi)$.

Корень $y_1 = 2$ подходит, так как $0 < 2 < \pi$.

Корень $y_2 = \frac{1}{2}$ также подходит, так как $0 < \frac{1}{2} < \pi$.

Следовательно, исходное уравнение имеет два решения. Найдем соответствующие значения $x$:

Из $\text{arcctg} x = 2$ получаем $x_1 = \text{ctg}(2)$.

Из $\text{arcctg} x = \frac{1}{2}$ получаем $x_2 = \text{ctg}(\frac{1}{2})$.

Ответ: $x_1 = \text{ctg}(2), x_2 = \text{ctg}(\frac{1}{2})$.

6. Найдите пределы:

А. $\lim_{x \to \infty} \frac{-x^2}{x^2+4}$;

Б. $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2-5x+2}{x^2+1}$.

А. Чтобы найти предел $ \lim_{x \to \infty} \frac{-x^2}{x^2+4} $, мы сталкиваемся с неопределенностью вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель дроби на $x$ в наивысшей степени, то есть на $x^2$.
$ \lim_{x \to \infty} \frac{-x^2}{x^2+4} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-x^2}{x^2}}{\frac{x^2+4}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{4}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{1+\frac{4}{x^2}} $.
Поскольку при $x \to \infty$ значение выражения $ \frac{4}{x^2} $ стремится к нулю, мы можем подставить это значение в предел:
$ \frac{-1}{1+0} = -1 $.
Другой способ — сравнить степени многочленов в числителе и знаменателе. Так как степени равны (обе равны 2), предел равен отношению коэффициентов при старших степенях: $ \frac{-1}{1} = -1 $.
Ответ: -1

Б. Чтобы найти предел $ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2-5x+2}{x^2+1} $, мы также имеем неопределенность вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Как и в предыдущем примере, разделим числитель и знаменатель на $x^2$.
$ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2-5x+2}{x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2-5x+2}{x^2}}{\frac{x^2+1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2}-\frac{5x}{x^2}+\frac{2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}} $.
При $x \to \infty$ выражения $ \frac{5}{x} $, $ \frac{2}{x^2} $ и $ \frac{1}{x^2} $ стремятся к нулю. Подставляем эти значения:
$ \frac{3-0+0}{1+0} = \frac{3}{1} = 3 $.
Сравнивая степени многочленов, которые равны 2, предел равен отношению коэффициентов при $x^2$: $ \frac{3}{1} = 3 $.
Ответ: 3