Номер 3, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. Решите уравнения:

А. $\sin \frac{x}{4}+\cos \frac{x}{4}=1$;

Б. $\sqrt{3} \sin 2x - \cos 2x - 2 = 0.$

А. Решим уравнение $\sin\frac{x}{4} + \cos\frac{x}{4} = 1$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Для его решения используем метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{x}{4} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\frac{x}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, можем переписать уравнение, используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:

$\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{x}{4} + \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{x}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Решения этого уравнения распадаются на две серии (где $k \in \mathbb{Z}$):

1) $\frac{x}{4}+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$\frac{x}{4} = 2\pi k$
$x = 8\pi k$

2) $\frac{x}{4}+\frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$\frac{x}{4}+\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
$\frac{x}{4} = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$\frac{x}{4} = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$x = 2\pi + 8\pi k$

Ответ: $x = 8\pi k; \quad x = 2\pi + 8\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Б. Решим уравнение $\sqrt{3}\sin2x - \cos2x - 2 = 0$.

Перенесем 2 в правую часть: $\sqrt{3}\sin2x - \cos2x = 2$.

Это также уравнение, решаемое методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x - \frac{1}{2}\cos2x = 1$

Заметим, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Подставим эти значения и применим формулу синуса разности $\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:

$\sin2x\cos\frac{\pi}{6} - \cos2x\sin\frac{\pi}{6} = 1$

$\sin(2x - \frac{\pi}{6}) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$2x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выразим $x$:

$2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$2x = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{4\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.