Номер 6, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6.

А. Лодка находится на озере на расстоянии 3 км от ближайшей точки А берега. Пассажир лодки желает достигнуть села B, находящегося на берегу на расстоянии 5 км от А (участок $\text{AB}$ считаем прямолинейным). Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села в кратчайшее время?

Б. Буровая вышка расположена в поле в 9 км от ближайшей точки шоссе. С буровой надо направить курьера в населенный пункт, расположенный на шоссе в 15 км от упомянутой точки (считаем шоссе прямолинейным). Скорость курьера на велосипеде по полю 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время достичь населенного пункта?

А.

Это задача на оптимизацию. Нам нужно найти такое место на берегу, чтобы общее время в пути было минимальным. Общее время складывается из времени движения на лодке и времени движения пешком.

Введем систему координат. Пусть точка A (ближайшая точка берега к лодке) будет началом координат (0, 0). Тогда берег совпадает с осью Ox. Село B находится в точке (5, 0), а начальное положение лодки L — в точке (0, 3).

Пусть лодка пристает к берегу в точке P с координатой $x$ на отрезке AB. Координаты точки P будут $(x, 0)$, где $0 \le x \le 5$.

Путь пассажира состоит из двух участков:

1. Движение на лодке от точки L(0, 3) до точки P(x, 0). Расстояние этого участка, согласно теореме Пифагора, равно $d_1 = \sqrt{(x-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{x^2 + 9}$ км. Время в пути на лодке со скоростью 4 км/ч составит $t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{4}$ ч.

2. Движение пешком от точки P(x, 0) до села B(5, 0). Расстояние этого участка равно $d_2 = 5 - x$ км. Время в пути пешком со скоростью 5 км/ч составит $t_2 = \frac{d_2}{v_2} = \frac{5 - x}{5}$ ч.

Суммарное время в пути как функция от $x$ равно:

$T(x) = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{4} + \frac{5 - x}{5}$

Чтобы найти минимальное время, нужно найти минимум этой функции на отрезке $[0, 5]$. Для этого найдем ее производную по $x$:

$T'(x) = \left(\frac{\sqrt{x^2 + 9}}{4} + \frac{5 - x}{5}\right)' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 9}} \cdot (x^2 + 9)' - \frac{1}{5} = \frac{2x}{8\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{1}{5} = \frac{x}{4\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{1}{5}$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$\frac{x}{4\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{1}{5} = 0$

$\frac{x}{4\sqrt{x^2 + 9}} = \frac{1}{5}$

$5x = 4\sqrt{x^2 + 9}$

Возведем обе части уравнения в квадрат (т.к. $x \ge 0$, обе части неотрицательны):

$25x^2 = 16(x^2 + 9)$

$25x^2 = 16x^2 + 144$

$9x^2 = 144$

$x^2 = 16$

$x = 4$ (отрицательный корень не подходит, так как $x$ - это расстояние).

Точка $x=4$ принадлежит отрезку $[0, 5]$. Это единственная критическая точка. Чтобы убедиться, что это точка минимума, можно проверить значения функции на концах отрезка и в этой точке, либо по знаку производной. Так как при $x < 4$ производная отрицательна, а при $x > 4$ — положительна, точка $x=4$ является точкой минимума.

Таким образом, лодка должна пристать к берегу в точке, находящейся на расстоянии 4 км от точки А в сторону села В.

Ответ: Лодка должна пристать к берегу в точке, удаленной на 4 км от ближайшей точки А в направлении села В.

Б.

Задача аналогична предыдущей. Необходимо найти точку на шоссе, чтобы общее время курьера было минимальным.

Введем систему координат. Пусть ближайшая к вышке точка на шоссе (назовем ее H) находится в начале координат (0, 0). Тогда шоссе совпадает с осью Ox. Населенный пункт (назовем его T) находится в точке (15, 0), а буровая вышка (D) — в точке (0, 9).

Пусть курьер выезжает на шоссе в точке P с координатой $x$. Координаты точки P будут $(x, 0)$, где $0 \le x \le 15$.

Путь курьера состоит из двух участков:

1. Движение по полю от вышки D(0, 9) до точки P(x, 0). Расстояние этого участка равно $d_1 = \sqrt{(x-0)^2 + (0-9)^2} = \sqrt{x^2 + 81}$ км. Время в пути по полю со скоростью 8 км/ч составит $t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{\sqrt{x^2 + 81}}{8}$ ч.

2. Движение по шоссе от точки P(x, 0) до пункта T(15, 0). Расстояние этого участка равно $d_2 = 15 - x$ км. Время в пути по шоссе со скоростью 10 км/ч составит $t_2 = \frac{d_2}{v_2} = \frac{15 - x}{10}$ ч.

Суммарное время в пути как функция от $x$ равно:

$T(x) = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{x^2 + 81}}{8} + \frac{15 - x}{10}$

Для нахождения минимума этой функции на отрезке $[0, 15]$ найдем ее производную по $x$:

$T'(x) = \left(\frac{\sqrt{x^2 + 81}}{8} + \frac{15 - x}{10}\right)' = \frac{1}{8} \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 81}} - \frac{1}{10} = \frac{x}{8\sqrt{x^2 + 81}} - \frac{1}{10}$

Приравняем производную к нулю:

$\frac{x}{8\sqrt{x^2 + 81}} - \frac{1}{10} = 0$

$\frac{x}{8\sqrt{x^2 + 81}} = \frac{1}{10}$

$10x = 8\sqrt{x^2 + 81}$

$5x = 4\sqrt{x^2 + 81}$

Возведем обе части в квадрат:

$25x^2 = 16(x^2 + 81)$

$25x^2 = 16x^2 + 1296$

$9x^2 = 1296$

$x^2 = 144$

$x = 12$ (отрицательный корень не подходит).

Точка $x=12$ принадлежит отрезку $[0, 15]$ и является единственной критической точкой. Аналогично предыдущей задаче, это точка минимума.

Следовательно, курьеру нужно ехать по полю к точке на шоссе, которая находится на расстоянии 12 км от ближайшей к вышке точки H в сторону населенного пункта.

Ответ: Курьеру надо ехать к точке на шоссе, расположенной в 12 км от ближайшей к вышке точки в направлении населенного пункта.