Номер 8, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. А.
Учащиеся 2 класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 разных предмета?

Б.
Сколько трехзначных чисел (без повторения цифр в записи числа) можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?

А. Данная задача решается с помощью методов комбинаторики. Нам нужно определить, сколькими способами можно упорядочить 4 разных предмета, выбрав их из 8 доступных. Поскольку порядок предметов в расписании важен (например, "Математика, Физика" — это не то же самое расписание, что и "Физика, Математика"), мы будем использовать формулу для нахождения числа размещений.
Число размещений из $n$ элементов по $k$ элементов обозначается как $A_n^k$ и вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В нашем случае:
$n = 8$ (общее количество предметов).
$k = 4$ (количество предметов в расписании на день).
Подставим значения в формулу:
$A_8^4 = \frac{8!}{(8-4)!} = \frac{8!}{4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$
Можно рассуждать и по-другому, используя правило умножения:
- На место первого урока можно поставить любой из 8 предметов.
- На место второго урока — любой из оставшихся 7 предметов.
- На место третьего — любой из оставшихся 6 предметов.
- На место четвертого — любой из оставшихся 5 предметов.
Общее число способов будет произведением этих вариантов: $8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$.
Ответ: 1680 способами.

Б. Нам нужно составить трехзначные числа из набора цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, при этом цифры в числе не должны повторяться. Всего в наборе 7 цифр.
Трехзначное число имеет три разряда: сотни, десятки и единицы.
1. Выбор первой цифры (разряд сотен): Трехзначное число не может начинаться с 0. Следовательно, для первой цифры у нас есть 6 вариантов выбора (любая цифра из {1, 2, 3, 4, 5, 6}).
2. Выбор второй цифры (разряд десятков): Для второй цифры мы можем использовать любую из оставшихся цифр, включая 0. Одна цифра уже занята на первом месте. Значит, из 7 исходных цифр осталось $7 - 1 = 6$ вариантов.
3. Выбор третьей цифры (разряд единиц): Две цифры уже использованы (для сотен и десятков). Следовательно, для третьей цифры остается $7 - 2 = 5$ вариантов.
Чтобы найти общее количество возможных трехзначных чисел, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции:
$6 \times 6 \times 5 = 180$
Ответ: можно составить 180 трехзначных чисел.