Номер 2, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:

А. $f(x)=9x+3x^2-x^3$, $[-2;2];$

Б. $f(x)=4x+\frac{1}{\sqrt{x}}-8$, $[\frac{1}{9};1].$

A. f(x)=9x+3x^2-x^3, [-2;2]

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке, нужно выполнить следующие шаги: найти производную функции, определить критические точки (где производная равна нулю или не существует), выбрать те из них, которые принадлежат отрезку, и вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка. Наибольшее и наименьшее из полученных значений и будут искомыми.

1. Находим производную функции $f(x) = 9x + 3x^2 - x^3$:

$f'(x) = (9x + 3x^2 - x^3)' = 9 + 6x - 3x^2$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$9 + 6x - 3x^2 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на $-3$:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решаем это квадратное уравнение, например, с помощью теоремы Виета. Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

3. Проверяем, какие из критических точек попадают в заданный промежуток $[-2; 2]$.

Корень $x = 3$ не принадлежит отрезку $[-2; 2]$.

Корень $x = -1$ принадлежит отрезку $[-2; 2]$.

4. Вычисляем значения функции в точке $x = -1$ и на концах отрезка, то есть в точках $x = -2$ и $x = 2$.

При $x = -1$: $f(-1) = 9(-1) + 3(-1)^2 - (-1)^3 = -9 + 3 \cdot 1 - (-1) = -9 + 3 + 1 = -5$.

При $x = -2$: $f(-2) = 9(-2) + 3(-2)^2 - (-2)^3 = -18 + 3 \cdot 4 - (-8) = -18 + 12 + 8 = 2$.

При $x = 2$: $f(2) = 9(2) + 3(2)^2 - (2)^3 = 18 + 3 \cdot 4 - 8 = 18 + 12 - 8 = 22$.

5. Сравниваем полученные значения: $-5$, $2$, $22$.

Наибольшее значение функции на отрезке равно $22$, а наименьшее – $-5$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $22$, наименьшее значение функции равно $-5$.

Б. f(x)=4x+1/√x-8, [1/9;1]

Применяем тот же алгоритм для функции $f(x) = 4x + \frac{1}{\sqrt{x}} - 8$ на отрезке $[\frac{1}{9}; 1]$.

1. Находим производную функции. Удобнее представить функцию в виде $f(x) = 4x + x^{-1/2} - 8$.

$f'(x) = (4x + x^{-1/2} - 8)' = 4 - \frac{1}{2}x^{-3/2} = 4 - \frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

2. Находим критические точки из условия $f'(x) = 0$:

$4 - \frac{1}{2x^{3/2}} = 0$

$4 = \frac{1}{2x^{3/2}}$

$8x^{3/2} = 1$

$x^{3/2} = \frac{1}{8}$

Возводим обе части в степень $\frac{2}{3}$:

$x = (\frac{1}{8})^{2/3} = (\sqrt[3]{\frac{1}{8}})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

3. Проверяем, принадлежит ли точка $x = \frac{1}{4}$ отрезку $[\frac{1}{9}; 1]$.

Поскольку $\frac{1}{9} \approx 0.11$, а $\frac{1}{4} = 0.25$, то $\frac{1}{9} < \frac{1}{4} < 1$. Точка принадлежит отрезку.

4. Вычисляем значения функции в критической точке $x = \frac{1}{4}$ и на концах отрезка $x = \frac{1}{9}$ и $x = 1$.

При $x = \frac{1}{4}$: $f(\frac{1}{4}) = 4 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{\sqrt{1/4}} - 8 = 1 + \frac{1}{1/2} - 8 = 1 + 2 - 8 = -5$.

При $x = \frac{1}{9}$: $f(\frac{1}{9}) = 4 \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{\sqrt{1/9}} - 8 = \frac{4}{9} + \frac{1}{1/3} - 8 = \frac{4}{9} + 3 - 8 = \frac{4}{9} - 5 = \frac{4-45}{9} = -\frac{41}{9}$.

При $x = 1$: $f(1) = 4 \cdot 1 + \frac{1}{\sqrt{1}} - 8 = 4 + 1 - 8 = -3$.

5. Сравниваем полученные значения: $-5$, $-\frac{41}{9}$ (это примерно $-4.56$) и $-3$.

Наименьшее из этих чисел – это $-5$. Наибольшее – это $-3$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $-3$, наименьшее значение функции равно $-5$.