Номер 4, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. Решите системы:

А. $\begin{cases} \cos x > -\frac{1}{2}; \\ \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}; \end{cases}$

Б. $\begin{cases} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \cos x \le \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases}$

А.

Дана система неравенств:

$ \begin{cases} \cos x > -\frac{1}{2} \\ \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} $

Эту систему можно записать в виде двойного неравенства:

$-\frac{1}{2} < \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Для решения используем единичную тригонометрическую окружность. Нам нужно найти углы $x$, для которых абсцисса (косинус) точки на окружности находится в интервале $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

1. Найдем углы, для которых $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi)$ это $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{7\pi}{4}$.

2. Найдем углы, для которых $\cos x = -\frac{1}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi)$ это $x = \frac{2\pi}{3}$ и $x = \frac{4\pi}{3}$.

На единичной окружности неравенству $-\frac{1}{2} < \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют две открытые дуги:

Первая дуга находится в первой и второй четвертях. Она соответствует углам, большим чем $\frac{\pi}{4}$ и меньшим чем $\frac{2\pi}{3}$. Таким образом, получаем первый интервал решений: $\frac{\pi}{4} < x < \frac{2\pi}{3}$.

Вторая дуга находится в третьей и четвертой четвертях. Она соответствует углам, большим чем $\frac{4\pi}{3}$ и меньшим чем $\frac{7\pi}{4}$. Таким образом, получаем второй интервал решений: $\frac{4\pi}{3} < x < \frac{7\pi}{4}$.

Учитывая периодичность функции косинуса (период $2\pi$), общее решение является объединением этих интервалов с добавлением $2\pi k$ к границам, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $x \in \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{4\pi}{3} + 2\pi k; \frac{7\pi}{4} + 2\pi k\right), k \in \mathbb{Z}$.

Б.

В условии для первого неравенства системы, скорее всего, опечатка. Наиболее вероятный вариант, соответствующий сложности задания, — это система двух неравенств. Предположим, что первое неравенство — это $ \sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2} $. Тогда система имеет вид:

$ \begin{cases} \sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos x \le \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности, используя единичную тригонометрическую окружность.

1. Решение неравенства $ \sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2} $.

На единичной окружности ордината (синус) точки должна быть меньше или равна $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Корнями уравнения $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $ являются $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$. Неравенству удовлетворяют углы на дуге, идущей от $ \frac{3\pi}{4} $ через $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi + \frac{\pi}{4}$. Таким образом, решение этого неравенства: $x \in \left[\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{9\pi}{4} + 2\pi k\right]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Решение неравенства $ \cos x \le \frac{\sqrt{3}}{2} $.

На единичной окружности абсцисса (косинус) точки должна быть меньше или равна $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Корнями уравнения $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $ являются $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$. Неравенству удовлетворяют углы на дуге, идущей от $ \frac{\pi}{6} $ против часовой стрелки до $ \frac{11\pi}{6} $. Решение: $x \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k\right]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Нахождение пересечения решений.

Найдем пересечение полученных множеств решений на одном обороте (при $k=0$).

Первое множество: $x \in [0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, 2\pi)$.

Второе множество: $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}]$.

Пересечение этих множеств: $\left([0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, 2\pi)\right) \cap \left[\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\right]$.

Разобьем на два пересечения:

а) $[0, \frac{\pi}{4}] \cap [\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}] = [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}]$

б) $[\frac{3\pi}{4}, 2\pi) \cap [\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}] = [\frac{3\pi}{4}, \frac{11\pi}{6}]$

Объединяя эти результаты и добавляя период $2\pi k$, получаем общее решение системы.

Ответ: $x \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k\right] \cup \left[\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{11\pi}{6} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.