Номер 6, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. Изобразите схематически фрагмент графика функции $f(x)$ в окрестности точки разрыва $x_0$ (приведите пример такой функции), если:

А. $x_0=2$, $\lim_{x \to 2+0} f(x) = \lim_{x \to 2-0} f(x) = 4$;

Б. $x_0=1$, $\lim_{x \to +0} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to -0} f(x) = 0$.

А. $x_0=2, \lim_{x\to 2-0}f(x)=\lim_{x\to 2+0}f(x)=4$
В данном случае левосторонний и правосторонний пределы в точке $x_0=2$ существуют, конечны и равны друг другу. Это означает, что в точке $x_0=2$ функция имеет устранимый разрыв первого рода. График функции стремится к одной и той же точке $(2, 4)$ как слева, так и справа, но значение функции в самой точке $f(2)$ либо не определено, либо не равно 4.
Схематическое изображение графика:
На координатной плоскости необходимо провести пунктирную вертикальную линию $x=2$. На уровне $y=4$ отметить точку с координатами $(2, 4)$ пустым кружком (это "выколотая" точка). Слева и справа от этой вертикальной линии график функции будет представлять собой линию, приближающуюся к этому пустому кружку, например, фрагмент прямой $y=4$.
Пример функции:
Простейшей функцией, удовлетворяющей этим условиям, является $f(x) = \frac{4(x-2)}{x-2}$. Эта функция равна 4 при всех $x \neq 2$ и не определена в точке $x=2$. Другой пример - кусочно-заданная функция:$f(x) = \begin{cases} 4, & \text{если } x \neq 2 \\ 0, & \text{если } x = 2 \end{cases}$
Ответ: В точке $x_0=2$ разрыв первого рода (устранимый). График функции стремится к точке $(2, 4)$ с обеих сторон, но сама точка "выколота". Пример функции: $f(x) = \frac{4(x-2)}{x-2}$.

Б. $x_0=1, \lim_{x\to 1-0}f(x)=-\infty, \lim_{x\to 1+0}f(x)=0$
В данном случае один из односторонних пределов (левосторонний) равен бесконечности. Это означает, что в точке $x_0=1$ функция имеет разрыв второго рода. Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой для графика функции при приближении слева.
Схематическое изображение графика:
На координатной плоскости необходимо провести вертикальную асимптоту $x=1$ (пунктирной линией). Слева от асимптоты ($x < 1$) график функции уходит вниз, стремясь к $-\infty$ по мере приближения $x$ к 1. Справа от асимптоты ($x > 1$) график функции приближается к точке на оси абсцисс $(1, 0)$. Эта точка $(1, 0)$ является выколотой (пустой кружок).
Пример функции:
Такое поведение удобно описывать с помощью кусочно-заданной функции:$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-1}, & \text{если } x < 1 \\ 0, & \text{если } x > 1 \end{cases}$
Проверим пределы для этой функции:$\lim_{x\to 1-0} \frac{1}{x-1} = \frac{1}{-0} = -\infty$
$\lim_{x\to 1+0} 0 = 0$
Условия задачи выполняются.
Ответ: В точке $x_0=1$ разрыв второго рода. При $x \to 1-0$ график уходит на $-\infty$ (вертикальная асимптота $x=1$). При $x \to 1+0$ график стремится к точке $(1, 0)$. Пример функции: $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-1}, & \text{если } x < 1 \\ 0, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.