Номер 1, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. Найдите производные функций:

А. $f(x) = \cos^3 2x - x^4 + \frac{1}{x^2+x} + 2\sqrt{x}$;

Б. $y=\sin^3 x^5$.

А. Для того чтобы найти производную функции $f(x) = \cos^3 2x - x^4 + \frac{1}{x^2+x} + 2\sqrt{x}$, мы найдем производную каждого слагаемого по отдельности, используя правила дифференцирования. Производная суммы функций равна сумме производных этих функций.
1. Производная первого слагаемого $(\cos^3 2x)'$. Это сложная функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$ и производную косинуса.
$(\cos^3 2x)' = 3\cos^2 2x \cdot (\cos 2x)' = 3\cos^2 2x \cdot (-\sin 2x) \cdot (2x)' = 3\cos^2 2x \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 = -6\sin 2x \cos^2 2x$.
2. Производная второго слагаемого $(-x^4)'$. Используем правило для степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$.
$(-x^4)' = -4x^3$.
3. Производная третьего слагаемого $(\frac{1}{x^2+x})'$. Используем правило для производной дроби $(\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2}$.
$(\frac{1}{x^2+x})' = -\frac{(x^2+x)'}{(x^2+x)^2} = -\frac{2x+1}{(x^2+x)^2}$.
4. Производная четвертого слагаемого $(2\sqrt{x})'$. Представим корень как степень $\frac{1}{2}$ и используем правило для степенной функции.
$(2\sqrt{x})' = (2x^{1/2})' = 2 \cdot \frac{1}{2} x^{1/2-1} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Теперь сложим все полученные производные, чтобы найти производную исходной функции:
$f'(x) = -6\sin 2x \cos^2 2x - 4x^3 - \frac{2x+1}{(x^2+x)^2} + \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Ответ: $f'(x) = -6\sin 2x \cos^2 2x - 4x^3 - \frac{2x+1}{(x^2+x)^2} + \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Б. Найдем производную функции $y = \sin^3 x^5$. Это сложная функция вида $f(g(h(x)))$, где $f(u)=u^3$, $g(v)=\sin v$ и $h(x)=x^5$. Мы будем использовать цепное правило дифференцирования последовательно.
1. Сначала берем производную по внешней функции (степенной):
$y' = (\sin^3 x^5)' = 3\sin^2 x^5 \cdot (\sin x^5)'$.
2. Затем находим производную от внутренней функции $\sin x^5$, которая также является сложной:
$(\sin x^5)' = \cos x^5 \cdot (x^5)'$.
3. Находим производную от $x^5$:
$(x^5)' = 5x^4$.
4. Теперь собираем все части вместе:
$(\sin x^5)' = \cos x^5 \cdot 5x^4$.
5. Подставляем это в выражение из шага 1:
$y' = 3\sin^2 x^5 \cdot (5x^4 \cos x^5)$.
6. Упрощаем, перемножая числовые коэффициенты и располагая множители в стандартном порядке:
$y' = 15x^4 \sin^2 x^5 \cos x^5$.
Ответ: $y' = 15x^4 \sin^2 x^5 \cos x^5$.