Номер 6, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. А. Найдите уравнения касательных к графику функции $y = f(x)$ в точках пересечения этого графика с осью абсцисс: $y = 6x^2 - 5x + 1$.

Б. Найти уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точках пересечения этого графика с осью ординат: $y = 3x^3 + 2x + 5$.

А.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем точки пересечения графика функции $y = 6x^2 - 5x + 1$ с осью абсцисс. В этих точках ордината $y=0$. Для этого решим квадратное уравнение:

$6x^2 - 5x + 1 = 0$

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.

Находим корни уравнения, которые являются абсциссами точек касания:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Таким образом, у нас есть две точки касания: $(\frac{1}{3}, 0)$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.

2. Найдем производную функции $f(x) = 6x^2 - 5x + 1$:

$f'(x) = (6x^2 - 5x + 1)' = 12x - 5$.

3. Составим уравнение касательной для каждой точки.

Для первой точки $(\frac{1}{3}, 0)$:

$x_0 = \frac{1}{3}$, $f(x_0) = 0$.

Найдем угловой коэффициент касательной (значение производной в этой точке):

$k_1 = f'(\frac{1}{3}) = 12 \cdot \frac{1}{3} - 5 = 4 - 5 = -1$.

Подставим значения в уравнение касательной:

$y = 0 + (-1)(x - \frac{1}{3})$

$y = -x + \frac{1}{3}$

Для второй точки $(\frac{1}{2}, 0)$:

$x_0 = \frac{1}{2}$, $f(x_0) = 0$.

Найдем угловой коэффициент касательной:

$k_2 = f'(\frac{1}{2}) = 12 \cdot \frac{1}{2} - 5 = 6 - 5 = 1$.

Подставим значения в уравнение касательной:

$y = 0 + 1(x - \frac{1}{2})$

$y = x - \frac{1}{2}$

Ответ: $y = -x + \frac{1}{3}$ и $y = x - \frac{1}{2}$.

Б.

1. Найдем точку пересечения графика функции $y = 3x^3 + 2x + 5$ с осью ординат. В этой точке абсцисса $x=0$.

Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 0$ в уравнение функции:

$y_0 = f(0) = 3(0)^3 + 2(0) + 5 = 5$.

Точка касания имеет координаты $(0, 5)$.

2. Найдем производную функции $f(x) = 3x^3 + 2x + 5$:

$f'(x) = (3x^3 + 2x + 5)' = 9x^2 + 2$.

3. Найдем угловой коэффициент касательной, подставив $x_0=0$ в производную:

$k = f'(0) = 9(0)^2 + 2 = 2$.

4. Составим уравнение касательной, используя формулу $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ и найденные значения $x_0 = 0$, $f(x_0) = 5$, $f'(x_0) = 2$:

$y = 5 + 2(x - 0)$

$y = 2x + 5$

Ответ: $y = 2x + 5$.