Номер 3, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. Решите уравнения:

А. $\cos \frac{\pi}{3}\sin 5x + \sin \frac{\pi}{3}\cos 5x = -\frac{1}{2}$;

Б. $-\sin 7x \cos x = \sin 6x$.

А.

Исходное уравнение: $cos\frac{\pi}{3}sin(5x)+sin\frac{\pi}{3}cos(5x)=-\frac{1}{2}$.

Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса суммы двух углов: $sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta$.

В нашем случае $\alpha=\frac{\pi}{3}$ и $\beta=5x$. Применим эту формулу:

$sin(\frac{\pi}{3}+5x) = -\frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение можно записать в виде совокупности двух серий корней:

1) $\frac{\pi}{3}+5x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$5x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$5x = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + 2\pi n$

$5x = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi n$

$5x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$

2) $\frac{\pi}{3}+5x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\frac{\pi}{3}+5x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{\pi}{3}+5x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$

$5x = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$5x = \frac{7\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$

$5x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

Б.

Исходное уравнение: $-sin(7x)cos(x)=sin(6x)$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$sin(6x) + sin(7x)cos(x) = 0$

Используем формулу преобразования произведения в сумму: $sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2}(sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta))$.

Применим ее ко второму слагаемому, где $\alpha=7x$ и $\beta=x$:

$sin(6x) + \frac{1}{2}(sin(7x+x)+sin(7x-x)) = 0$

$sin(6x) + \frac{1}{2}(sin(8x)+sin(6x)) = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2sin(6x) + sin(8x) + sin(6x) = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$sin(8x) + 3sin(6x) = 0$

Рассмотрим случай, когда оба слагаемых одновременно равны нулю. Это возможно, если $sin(6x)=0$ и $sin(8x)=0$ одновременно.

$sin(6x)=0 \implies 6x=\pi k \implies x=\frac{\pi k}{6}, k \in \mathbb{Z}$

$sin(8x)=0 \implies 8x=\pi m \implies x=\frac{\pi m}{8}, m \in \mathbb{Z}$

Приравняем выражения для $x$, чтобы найти общие корни:

$\frac{\pi k}{6} = \frac{\pi m}{8}$

$8k=6m \implies 4k=3m$

Поскольку 4 и 3 — взаимно простые числа, это равенство выполняется, если $k=3n$ и $m=4n$ для некоторого целого числа $n$.

Подставим $k=3n$ в первую формулу для $x$:

$x = \frac{\pi (3n)}{6} = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Эта серия корней является решением уравнения, так как при подстановке в уравнение $sin(8x) + 3sin(6x) = 0$ оба синуса обращаются в ноль: $sin(8\frac{\pi n}{2}) + 3sin(6\frac{\pi n}{2}) = sin(4\pi n) + 3sin(3\pi n) = 0 + 3 \cdot 0 = 0$.

Другие возможные решения уравнения $sin(8x) + 3sin(6x) = 0$ приводят к более сложным уравнениям, которые выходят за рамки стандартной школьной программы.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.