Номер 14, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

14. Если некоторое двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 9. Если же к сумме квадратов цифр данного числа прибавить произведение его цифр, то получится искомое число. Найдите это число.

$10a + b = 3ab + 9$

$a^2 + b^2 + ab = 10a + b$

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Так как число двузначное, $a$ является натуральным числом от 1 до 9, а $b$ — целым числом от 0 до 9.

Из первого условия задачи следует, что при делении числа $10a+b$ на произведение его цифр $ab$ получается частное 3 и остаток 9. Это можно записать в виде уравнения с остатком:

$10a + b = 3 \cdot (ab) + 9$

Важным следствием этого условия является то, что остаток от деления (9) всегда должен быть меньше делителя ($ab$). Таким образом, мы получаем неравенство:

$ab > 9$

Второе условие гласит, что если к сумме квадратов цифр ($a^2 + b^2$) прибавить их произведение ($ab$), то получится искомое число ($10a+b$):

$a^2 + b^2 + ab = 10a + b$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $10a + b = 3ab + 9$

2) $a^2 + b^2 + ab = 10a + b$

Поскольку левая часть второго уравнения и правая часть первого уравнения равны одному и тому же выражению $10a+b$, мы можем их приравнять:

$a^2 + b^2 + ab = 3ab + 9$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$a^2 + b^2 + ab - 3ab - 9 = 0$

$a^2 - 2ab + b^2 - 9 = 0$

Выражение $a^2 - 2ab + b^2$ является формулой квадрата разности $(a-b)^2$.

$(a-b)^2 - 9 = 0$

$(a-b)^2 = 9$

Из этого уравнения следует два возможных варианта:

1. $a - b = 3$

2. $a - b = -3$

Рассмотрим первый случай: $a - b = 3$, откуда $a = b + 3$.

Подставим это выражение для $a$ в первое уравнение нашей системы ($10a + b = 3ab + 9$):

$10(b + 3) + b = 3(b + 3)b + 9$

$10b + 30 + b = 3b^2 + 9b + 9$

$11b + 30 = 3b^2 + 9b + 9$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2+Bx+C=0$:

$3b^2 - 2b - 21 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-21) = 4 + 252 = 256$

Корни уравнения $b = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$b_1 = \frac{2 + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 16}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$b_2 = \frac{2 - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 16}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

Поскольку $b$ — это цифра, она должна быть целым неотрицательным числом. Следовательно, нам подходит только $b = 3$.

Тогда $a = b + 3 = 3 + 3 = 6$.

Получили цифры $a=6$ и $b=3$. Искомое число — 63. Проверим выполнение условия $ab > 9$: $6 \cdot 3 = 18 > 9$. Условие выполнено.

Рассмотрим второй случай: $a - b = -3$, откуда $b = a + 3$.

Подставим это выражение для $b$ в первое уравнение системы:

$10a + (a + 3) = 3a(a + 3) + 9$

$11a + 3 = 3a^2 + 9a + 9$

Приведем к стандартному виду:

$3a^2 - 2a + 6 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 4 - 72 = -68$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), это уравнение не имеет действительных корней, а значит, не имеет и целочисленных решений для $a$.

Таким образом, единственным решением является число 63. Проведем финальную проверку.

1. Делим 63 на произведение его цифр ($6 \cdot 3 = 18$): $63 \div 18 = 3$ (остаток $63 - 3 \cdot 18 = 9$). Условие выполняется.

2. Сумма квадратов цифр плюс их произведение: $6^2 + 3^2 + 6 \cdot 3 = 36 + 9 + 18 = 63$. Условие выполняется.

Ответ: 63.