Номер 12, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

12. (4)

Испытание состоит в трехкратном подбрасывании монеты. Случайная величина $Z$ принимает при этом значение, равное количеству выпавших «орлов». Составьте ряд распределения величины $Z$, найдите ее математическое ожидание и дисперсию.

Испытание состоит в трехкратном подбрасывании монеты. Случайная величина $Z$ — это количество выпавших «орлов». Вероятность выпадения «орла» (О) при одном броске равна $p = 1/2$, а «решки» (Р) — $q = 1/2$.

Всего возможных исходов при трех бросках $2^3 = 8$. Перечислим их все:

РРР, РРО, РОР, ОРР, РОО, ОРО, ООР, ООО.

Каждый из этих исходов равновероятен, и его вероятность равна $(1/2)^3 = 1/8$.

Ряд распределения величины Z

Случайная величина $Z$ (количество орлов) может принимать значения 0, 1, 2, 3. Найдем вероятности для каждого значения:

1. $Z=0$ (нет орлов). Этому соответствует один исход: РРР.
Вероятность: $P(Z=0) = 1/8$.

2. $Z=1$ (один орел). Этому соответствуют три исхода: РРО, РОР, ОРР.
Вероятность: $P(Z=1) = 3/8$.

3. $Z=2$ (два орла). Этому соответствуют три исхода: РОО, ОРО, ООР.
Вероятность: $P(Z=2) = 3/8$.

4. $Z=3$ (три орла). Этому соответствует один исход: ООО.
Вероятность: $P(Z=3) = 1/8$.

Проверим, что сумма вероятностей равна 1: $1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 8/8 = 1$.

Ряд распределения величины $Z$ можно представить в виде таблицы:

$z_i$: 0, 1, 2, 3
$p_i$: 1/8, 3/8, 3/8, 1/8

Ответ: Ряд распределения имеет вид: $P(Z=0)=1/8$, $P(Z=1)=3/8$, $P(Z=2)=3/8$, $P(Z=3)=1/8$.

Математическое ожидание M(Z)

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$M(Z) = \sum z_i p_i$

Подставим наши значения:

$M(Z) = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8} = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $M(Z) = 1.5$.

Дисперсия D(Z)

Дисперсию можно вычислить по формуле $D(Z) = M(Z^2) - [M(Z)]^2$.

Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(Z^2)$:

$M(Z^2) = \sum z_i^2 p_i$

$M(Z^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{8} + 1^2 \cdot \frac{3}{8} + 2^2 \cdot \frac{3}{8} + 3^2 \cdot \frac{1}{8} = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + 4 \cdot \frac{3}{8} + 9 \cdot \frac{1}{8} = 0 + \frac{3}{8} + \frac{12}{8} + \frac{9}{8} = \frac{24}{8} = 3$

Теперь вычислим дисперсию:

$D(Z) = M(Z^2) - [M(Z)]^2 = 3 - (1.5)^2 = 3 - 2.25 = 0.75$

Ответ: $D(Z) = 0.75$.