Номер 16, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

16. В кладовке имеются большие и маленькие коробки. В маленькую коробку помещается только один мяч, а в большую – два. 13 мячей можно разложить по коробкам так, чтобы осталось 9 пустых коробок. 10 мячей можно разложить по коробкам так, чтобы осталось 6 пустых коробок. Сколько коробок в кладовке?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $K$ - это общее количество коробок в кладовке. Известно, что в маленькую коробку помещается 1 мяч, а в большую – 2 мяча.

Рассмотрим первую ситуацию: имеется 13 мячей, и после их раскладывания по коробкам остается 9 пустых коробок.
Это означает, что количество использованных коробок равно $K - 9$.
Пусть $b_1$ – это количество использованных больших коробок, а $m_1$ – количество использованных маленьких коробок.
Тогда мы можем составить систему из двух уравнений:
1. По количеству использованных коробок: $b_1 + m_1 = K - 9$
2. По количеству мячей: $2 \cdot b_1 + 1 \cdot m_1 = 13$

Теперь рассмотрим вторую ситуацию: имеется 10 мячей, и остается 6 пустых коробок.
Количество использованных коробок в этом случае равно $K - 6$.
Пусть $b_2$ – это количество использованных больших коробок, а $m_2$ – количество использованных маленьких коробок.
Составим аналогичную систему уравнений:
1. По количеству использованных коробок: $b_2 + m_2 = K - 6$
2. По количеству мячей: $2 \cdot b_2 + 1 \cdot m_2 = 10$

Теперь выразим количество использованных коробок каждого типа ($b_1, m_1, b_2, m_2$) через общее количество коробок $K$.
Для первой ситуации:
Вычтем из второго уравнения первое: $(2b_1 + m_1) - (b_1 + m_1) = 13 - (K - 9)$.
Это дает нам: $b_1 = 13 - K + 9$, то есть $b_1 = 22 - K$.
Подставим найденное значение $b_1$ в первое уравнение: $(22 - K) + m_1 = K - 9$.
Отсюда $m_1 = K - 9 - (22 - K) = 2K - 31$.

Для второй ситуации проделаем то же самое:
Вычтем из второго уравнения первое: $(2b_2 + m_2) - (b_2 + m_2) = 10 - (K - 6)$.
Это дает нам: $b_2 = 10 - K + 6$, то есть $b_2 = 16 - K$.
Подставим $b_2$ в первое уравнение: $(16 - K) + m_2 = K - 6$.
Отсюда $m_2 = K - 6 - (16 - K) = 2K - 22$.

Поскольку количество коробок не может быть отрицательным числом, все найденные значения ($b_1, m_1, b_2, m_2$) должны быть больше или равны нулю. Это дает нам систему неравенств для $K$:
1. $b_1 \ge 0 \implies 22 - K \ge 0 \implies K \le 22$
2. $m_1 \ge 0 \implies 2K - 31 \ge 0 \implies 2K \ge 31 \implies K \ge 15.5$
3. $b_2 \ge 0 \implies 16 - K \ge 0 \implies K \le 16$
4. $m_2 \ge 0 \implies 2K - 22 \ge 0 \implies 2K \ge 22 \implies K \ge 11$

Объединим все эти условия. $K$ должно быть одновременно больше или равно 15.5 и меньше или равно 16. Математически это записывается как $15.5 \le K \le 16$.
Так как $K$ (количество коробок) может быть только целым числом, единственное значение, удовлетворяющее этому условию, – это 16.

Ответ: 16