Номер 1, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. Найдите производную функции $y = f(x)$.

А. $y = x^2 \operatorname{tg} 2x$.

Б. $f(x)=(x+1)^4(x-2)^3$.

А.

Дана функция $y = x^2 \tg(2x)$.

Для нахождения производной этой функции необходимо использовать правило дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

В нашем случае $u(x) = x^2$ и $v(x) = \tg(2x)$.

Сначала найдем производную $u'(x)$:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Далее найдем производную $v'(x)$. Это сложная функция, поэтому применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Производная тангенса $(\tg(z))' = \frac{1}{\cos^2(z)}$.

Производная внутреннего выражения $(2x)' = 2$.

Следовательно, производная $v(x)$ равна:

$v'(x) = (\tg(2x))' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = \frac{2}{\cos^2(2x)}$.

Теперь подставим найденные производные $u'$ и $v'$ в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = (2x) \cdot \tg(2x) + x^2 \cdot \frac{2}{\cos^2(2x)}$.

Запишем итоговый результат:

$y' = 2x \tg(2x) + \frac{2x^2}{\cos^2(2x)}$.

Ответ: $y' = 2x \tg(2x) + \frac{2x^2}{\cos^2(2x)}$.

Б.

Дана функция $f(x) = (x+1)^4 (x-2)^3$.

Эта функция также является произведением двух функций, поэтому снова используем правило $(uv)' = u'v + uv'$.

Здесь $u(x) = (x+1)^4$ и $v(x) = (x-2)^3$.

Найдем производную $u'(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции и цепное правило:

$u'(x) = ((x+1)^4)' = 4(x+1)^{4-1} \cdot (x+1)' = 4(x+1)^3 \cdot 1 = 4(x+1)^3$.

Аналогично найдем производную $v'(x)$:

$v'(x) = ((x-2)^3)' = 3(x-2)^{3-1} \cdot (x-2)' = 3(x-2)^2 \cdot 1 = 3(x-2)^2$.

Теперь подставим полученные производные в формулу для производной произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 4(x+1)^3 \cdot (x-2)^3 + (x+1)^4 \cdot 3(x-2)^2$.

Для упрощения выражения вынесем за скобки общий множитель $(x+1)^3(x-2)^2$:

$f'(x) = (x+1)^3(x-2)^2 [4(x-2) + 3(x+1)]$.

Упростим выражение в квадратных скобках:

$4(x-2) + 3(x+1) = 4x - 8 + 3x + 3 = 7x - 5$.

Таким образом, окончательный вид производной:

$f'(x) = (x+1)^3(x-2)^2(7x-5)$.

Ответ: $f'(x) = (x+1)^3(x-2)^2(7x-5)$.