Номер 2, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. С помощью элементарных преобразований постройте график функции. Для каждой функции укажите область определения, множество значений, промежутки монотонности.

А. $y=-(x+3)^2+9.$

Б. $y=\|x-2|-1\|.$

А. $y = -(x+3)^2 + 9$

Построение графика функции $y = -(x+3)^2 + 9$ выполняется с помощью последовательности элементарных преобразований базовой функции $y = x^2$ (парабола).

1. Строим график функции $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

2. Выполняем сдвиг графика $y = x^2$ на 3 единицы влево по оси $Ox$. Получаем график функции $y = (x+3)^2$. Вершина параболы смещается в точку $(-3, 0)$.

3. Отражаем график функции $y = (x+3)^2$ симметрично относительно оси $Ox$. Получаем график функции $y = -(x+3)^2$. Ветви параболы теперь направлены вниз, вершина остается в точке $(-3, 0)$.

4. Выполняем сдвиг графика $y = -(x+3)^2$ на 9 единиц вверх по оси $Oy$. Получаем искомый график функции $y = -(x+3)^2 + 9$. Вершина параболы смещается в точку $(-3, 9)$.

Область определения: функция является многочленом (квадратичной функцией), поэтому она определена для всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: так как это парабола с ветвями, направленными вниз, ее наибольшее значение достигается в вершине. Координата $y$ вершины равна 9.
$E(y) = (-\infty; 9]$.

Промежутки монотонности: функция возрастает до своей вершины (при $x = -3$) и убывает после нее.
Функция возрастает на промежутке $(-\infty; -3]$.
Функция убывает на промежутке $[-3; +\infty)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-3, 9)$ и ветвями, направленными вниз. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = (-\infty; 9]$. Промежутки возрастания: $(-\infty; -3]$. Промежутки убывания: $[-3; +\infty)$.

Б. $y = ||x-2|-1|$

Построение графика функции $y = ||x-2|-1|$ выполняется с помощью последовательности элементарных преобразований базовой функции $y = |x|$.

1. Строим график функции $y = |x|$. Это "галочка" с вершиной в точке $(0, 0)$.

2. Выполняем сдвиг графика $y = |x|$ на 2 единицы вправо по оси $Ox$. Получаем график функции $y = |x-2|$. Вершина смещается в точку $(2, 0)$.

3. Выполняем сдвиг графика $y = |x-2|$ на 1 единицу вниз по оси $Oy$. Получаем график функции $y = |x-2|-1$. Вершина смещается в точку $(2, -1)$. График пересекает ось $Ox$ в точках $x=1$ и $x=3$.

4. Применяем внешнее преобразование модуля: $y = ||x-2|-1|$. Это означает, что часть графика $y = |x-2|-1$, которая находится ниже оси $Ox$ (где $y < 0$), отражается симметрично вверх относительно оси $Ox$. Часть графика, которая находится выше или на оси $Ox$, остается без изменений.
В результате точка $(2, -1)$ переходит в точку $(2, 1)$, а точки $(1, 0)$ и $(3, 0)$ остаются на месте. Итоговый график имеет W-образную форму.

Область определения: функция определена для всех действительных чисел, так как все операции (вычитание, взятие модуля) определены для любого $x$.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: из-за внешнего модуля значение функции не может быть отрицательным. Минимальное значение равно 0.
$E(y) = [0; +\infty)$.

Промежутки монотонности: анализируем W-образный график.
Функция убывает на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[2; 3]$.
Функция возрастает на промежутках $[1; 2]$ и $[3; +\infty)$.

Ответ: График функции имеет W-образную форму с точками излома в $(1, 0)$, $(2, 1)$ и $(3, 0)$. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$. Промежутки убывания: $(-\infty; 1] \cup [2; 3]$. Промежутки возрастания: $[1; 2] \cup [3; +\infty)$.