Номер 5, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. Решите уравнения:

А. $cos(\arccos(x + 2)) = x^2$;

Б. $sin(\arcsin(4x - 1)) = 8x^2$.

А. Решение уравнения $ \cos(\arccos(x + 2)) = x^2 $.

Данное уравнение имеет смысл только при условии, что выражение под знаком арккосинуса принадлежит отрезку $ [-1; 1] $. Это называется Областью допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ: $ -1 \le x + 2 \le 1 $.

Решим это двойное неравенство, вычтя 2 из всех его частей:

$ -1 - 2 \le x \le 1 - 2 $

$ -3 \le x \le -1 $

Таким образом, ОДЗ для $x$ есть промежуток $ [-3; -1] $.

На этой области справедливо тождество $ \cos(\arccos(a)) = a $. Применим его к левой части уравнения:

$ x + 2 = x^2 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2 - x - 2 = 0 $

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 $

Корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1 $

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ $ [-3; -1] $.

Корень $ x_1 = 2 $ не принадлежит ОДЗ, так как $ 2 > -1 $. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $ x_2 = -1 $ принадлежит ОДЗ, так как $ -3 \le -1 \le -1 $. Следовательно, это является решением уравнения.

Ответ: $ -1 $

Б. Решение уравнения $ \sin(\arcsin(4x - 1)) = 3x^2 $.

Данное уравнение имеет смысл при условии, что выражение под знаком арксинуса принадлежит отрезку $ [-1; 1] $. Найдем Область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ: $ -1 \le 4x - 1 \le 1 $.

Решим это двойное неравенство, прибавив 1 ко всем его частям:

$ -1 + 1 \le 4x \le 1 + 1 $

$ 0 \le 4x \le 2 $

Разделим все части на 4:

$ 0 \le x \le \frac{2}{4} $

$ 0 \le x \le \frac{1}{2} $

Таким образом, ОДЗ для $x$ есть промежуток $ [0; \frac{1}{2}] $.

На этой области справедливо тождество $ \sin(\arcsin(a)) = a $. Применив его, получаем:

$ 4x - 1 = 3x^2 $

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$ 3x^2 - 4x + 1 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 $

Найдем корни:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ $ [0; \frac{1}{2}] $.

Корень $ x_1 = 1 $ не принадлежит ОДЗ, так как $ 1 > \frac{1}{2} $. Это посторонний корень.

Корень $ x_2 = \frac{1}{3} $ принадлежит ОДЗ, так как $ 0 \le \frac{1}{3} \le \frac{1}{2} $. Этот корень является решением.

Ответ: $ \frac{1}{3} $