Номер 4, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. Решите уравнения:

А. $ \cos 2x + \sqrt{2} \sin x = 1 $

Б. $ 6 \cos^2 x - 5 \sin x + 5 = 0 $

А. Исходное уравнение: $cos2x + \sqrt{2}sinx = 1$.

Для решения данного уравнения приведем все тригонометрические функции к одному аргументу $x$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos2x = 1 - 2sin^2x$. Эта формула удобна, так как в уравнении уже есть $sinx$.

Подставим выражение для $cos2x$ в исходное уравнение:

$(1 - 2sin^2x) + \sqrt{2}sinx = 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть и упростим:

$1 - 2sin^2x + \sqrt{2}sinx - 1 = 0$

$-2sin^2x + \sqrt{2}sinx = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента при старшей степени:

$2sin^2x - \sqrt{2}sinx = 0$

Это неполное квадратное уравнение относительно $sinx$. Вынесем общий множитель $sinx$ за скобки:

$sinx(2sinx - \sqrt{2}) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $sinx = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решения: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $2sinx - \sqrt{2} = 0$

$2sinx = \sqrt{2}$

$sinx = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решения этого уравнения записываются общей формулой: $x = (-1)^n arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, то $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Б. Исходное уравнение: $6cos^2x - 5sinx + 5 = 0$.

В данном уравнении присутствуют две разные тригонометрические функции: $cosx$ и $sinx$. Чтобы решить его, приведем все к одной функции. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2x + cos^2x = 1$. Из него выразим $cos^2x = 1 - sin^2x$.

Подставим это выражение в уравнение:

$6(1 - sin^2x) - 5sinx + 5 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$6 - 6sin^2x - 5sinx + 5 = 0$

$-6sin^2x - 5sinx + 11 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1:

$6sin^2x + 5sinx - 11 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $sinx$. Сделаем замену переменной: пусть $t = sinx$. Учитывая, что область значений функции синус $[-1, 1]$, на переменную $t$ накладывается ограничение: $-1 \le t \le 1$.

Уравнение принимает вид: $6t^2 + 5t - 11 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-11) = 25 + 264 = 289 = 17^2$

Находим корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{-22}{12} = -\frac{11}{6}$

Теперь выполним обратную замену, учитывая ограничение $-1 \le sinx \le 1$.

1) $sinx = t_1 = 1$. Этот корень удовлетворяет условию $-1 \le 1 \le 1$.

Решением уравнения $sinx = 1$ является серия корней: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $sinx = t_2 = -\frac{11}{6}$. Так как $-\frac{11}{6} \approx -1.83$, это значение не входит в область значений синуса (т.е. $-\frac{11}{6} < -1$). Следовательно, это уравнение решений не имеет.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.