Номер 2, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. Исследуйте на четность и нечетность функции:

А. $f(x)=\frac{x^4 + x^2 + |x| + 3}{x^2 - 1};$

Б. $g(x)=\sin x \cos 3x \cos 4x.$

А.

Для исследования функции $f(x) = \frac{x^4 + x^2 + |x| + 3}{x^2 - 1}$ на четность и нечетность необходимо проверить выполнение двух условий: симметричность области определения и равенство $f(-x) = f(x)$ (для четной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечетной функции).

1. Найдем область определения функции $D(f)$.Функция представляет собой дробь, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю:$x^2 - 1 \neq 0$$x^2 \neq 1$$x \neq 1$ и $x \neq -1$Область определения функции: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \infty)$.Эта область определения является симметричной относительно начала координат, так как для любого $x$ из $D(f)$ соответствующее значение $-x$ также принадлежит $D(f)$.

2. Найдем $f(-x)$ и сравним его с $f(x)$.Подставим $-x$ вместо $x$ в выражение для функции:$f(-x) = \frac{(-x)^4 + (-x)^2 + |-x| + 3}{(-x)^2 - 1}$Воспользуемся свойствами четности степенных функций и модуля:$(-x)^4 = x^4$$(-x)^2 = x^2$$|-x| = |x|$Подставив эти результаты в выражение для $f(-x)$, получаем:$f(-x) = \frac{x^4 + x^2 + |x| + 3}{x^2 - 1}$

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$.Полученное выражение для $f(-x)$ полностью совпадает с исходной функцией $f(x)$.Таким образом, $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.Следовательно, функция $f(x)$ является четной.

Ответ: функция четная.

Б.

Исследуем на четность и нечетность функцию $g(x) = \sin x \cos 3x \cos 4x$.

1. Найдем область определения функции $D(g)$.Тригонометрические функции $\sin x$, $\cos 3x$ и $\cos 4x$ определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения их произведения также все действительные числа: $D(g) = (-\infty; +\infty)$.Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдем $g(-x)$ и сравним его с $g(x)$.Подставим $-x$ вместо $x$ в выражение для функции:$g(-x) = \sin(-x) \cos(3(-x)) \cos(4(-x))$Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций:$\sin(-x) = -\sin x$ (синус - нечетная функция).$\cos(-u) = \cos u$ (косинус - четная функция).Применим эти свойства:$\sin(-x) = -\sin x$$\cos(3(-x)) = \cos(-3x) = \cos(3x)$$\cos(4(-x)) = \cos(-4x) = \cos(4x)$Подставим преобразованные выражения в $g(-x)$:$g(-x) = (-\sin x) \cdot (\cos 3x) \cdot (\cos 4x) = -(\sin x \cos 3x \cos 4x)$

3. Сравним $g(-x)$ с $g(x)$.Мы видим, что $g(-x) = -g(x)$.Так как область определения функции симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $g(-x) = -g(x)$, то функция $g(x)$ является нечетной.

Ответ: функция нечетная.