Номер 5, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5.

А. В зоопарке куском веревки длиной $100 \text{ м}$ огораживают загон для зверей, имеющий форму равнобедренного треугольника, основанием которого служит стена павильона. Каким следует выбрать основание треугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Б. Определите размеры открытого бассейна объемом $32 \text{ м}^3$ с квадратным дном, на облицовку дна и стен которого затрачивается наименьшее количество материала.

А.

Пусть загон имеет форму равнобедренного треугольника. Основанием этого треугольника, обозначим его длину как $a$, служит стена павильона. Две другие, равные между собой стороны, обозначим их длину как $b$, огораживаются веревкой. Длина веревки составляет 100 м.

Таким образом, сумма длин боковых сторон равна $2b = 100$ м, откуда длина каждой боковой стороны $b = 50$ м.

Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $h$ — высота, опущенная на основание $a$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и делит его на два равных прямоугольных треугольника. Катетами этих треугольников будут $h$ и $\frac{a}{2}$, а гипотенузой — боковая сторона $b$.

По теореме Пифагора имеем: $h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2$.

Подставим известное значение $b = 50$: $h^2 + \frac{a^2}{4} = 50^2 = 2500$.

Выразим отсюда высоту $h$: $h = \sqrt{2500 - \frac{a^2}{4}}$.

Теперь подставим выражение для $h$ в формулу площади, чтобы получить функцию площади от длины основания $a$:$S(a) = \frac{1}{2}a \sqrt{2500 - \frac{a^2}{4}}$.

Для нахождения наибольшей площади необходимо найти максимум функции $S(a)$. Чтобы упростить вычисления, можно максимизировать квадрат площади $S^2(a)$, так как максимум функции и ее квадрата (для положительных значений) достигается при одном и том же значении аргумента.

$S^2(a) = \left(\frac{1}{2}a \sqrt{2500 - \frac{a^2}{4}}\right)^2 = \frac{a^2}{4} \left(2500 - \frac{a^2}{4}\right) = 625a^2 - \frac{a^4}{16}$.

Найдем производную этой функции по $a$ и приравняем ее к нулю для поиска критических точек:

$\frac{d(S^2)}{da} = (625a^2 - \frac{a^4}{16})' = 1250a - \frac{4a^3}{16} = 1250a - \frac{a^3}{4}$.

$1250a - \frac{a^3}{4} = 0$.

Поскольку длина основания $a$ должна быть больше нуля, мы можем разделить уравнение на $a$: $1250 - \frac{a^2}{4} = 0$.

$\frac{a^2}{4} = 1250 \implies a^2 = 5000$.

$a = \sqrt{5000} = \sqrt{2500 \cdot 2} = 50\sqrt{2}$ м.

Проверка с помощью второй производной подтверждает, что это точка максимума. Таким образом, площадь загона будет наибольшей, когда его основание равно $50\sqrt{2}$ м.

Ответ: Основание треугольника должно быть равно $50\sqrt{2}$ м.

Б.

Пусть бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном и без верхней крышки. Обозначим длину стороны квадратного дна через $x$ (в метрах), а высоту (глубину) бассейна через $h$ (в метрах).

Объем бассейна $V$ задан и равен 32 м³. Формула для объема: $V = (\text{площадь дна}) \cdot (\text{высота}) = x^2 h$.

Из условия задачи имеем: $x^2 h = 32$.

Отсюда можно выразить высоту $h$ через сторону дна $x$: $h = \frac{32}{x^2}$.

Количество материала для облицовки определяется суммарной площадью дна и четырех боковых стен. Обозначим эту площадь как $A$.

$A = (\text{Площадь дна}) + (\text{Площадь боковых стенок}) = x^2 + 4 \cdot (xh)$.

Чтобы найти размеры, минимизирующие расход материала, нужно найти минимум функции $A$. Для этого подставим выражение для $h$ в формулу площади, чтобы получить функцию, зависящую только от переменной $x$:

$A(x) = x^2 + 4x \left(\frac{32}{x^2}\right) = x^2 + \frac{128}{x}$.

Для нахождения минимума функции $A(x)$ найдем ее производную по $x$ и приравняем к нулю.

$A'(x) = \left(x^2 + \frac{128}{x}\right)' = 2x - \frac{128}{x^2}$.

Приравняем производную к нулю:

$2x - \frac{128}{x^2} = 0$.

$2x = \frac{128}{x^2} \implies 2x^3 = 128 \implies x^3 = 64$.

Отсюда находим $x = \sqrt[3]{64} = 4$ м.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, воспользуемся второй производной:

$A''(x) = \left(2x - 128x^{-2}\right)' = 2 - 128(-2)x^{-3} = 2 + \frac{256}{x^3}$.

При $x = 4$, значение второй производной $A''(4) = 2 + \frac{256}{4^3} = 2 + \frac{256}{64} = 2 + 4 = 6$. Поскольку $A''(4) > 0$, при $x = 4$ функция $A(x)$ достигает своего минимума.

Теперь найдем соответствующую высоту бассейна $h$:

$h = \frac{32}{x^2} = \frac{32}{4^2} = \frac{32}{16} = 2$ м.

Таким образом, для наименьшего расхода материала размеры бассейна должны быть следующими: сторона квадратного дна — 4 м, высота — 2 м.

Ответ: Размеры бассейна: дно 4 м × 4 м, высота 2 м.