Номер 2, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

$x+x$

2. Исследуйте на четность и нечетность функции:

А. $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$;

Б. $g(x) = \sin 2x + x^3$.

А. Дана функция $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$.

Для исследования функции на четность или нечетность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат. То есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ должен ей принадлежать.

2. Для всех $x$ из области определения должно выполняться одно из равенств:

• $f(-x) = f(x)$ (функция является четной).
• $f(-x) = -f(x)$ (функция является нечетной).

Сначала найдем область определения функции $f(x)$. Так как это дробно-рациональная функция, ее знаменатель не может быть равен нулю:

$x - 1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$.

Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь проверим ее на симметричность. Возьмем значение $x = -1$. Оно принадлежит области определения, так как $-1 \neq 1$. Однако, противоположное значение $-x = -(-1) = 1$ не принадлежит области определения. Поскольку область определения не симметрична относительно начала координат, функция не может быть ни четной, ни нечетной. Такие функции называют функциями общего вида.

Дополнительно можно проверить и второе условие. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)+1}{(-x)-1} = \frac{1-x}{-1-x} = \frac{-(x-1)}{-(x+1)} = \frac{x-1}{x+1}$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = \frac{x-1}{x+1} \neq f(x) = \frac{x+1}{x-1}$

$f(-x) = \frac{x-1}{x+1} \neq -f(x) = -\frac{x+1}{x-1}$

Ни одно из условий четности или нечетности не выполняется, что подтверждает наш вывод.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Б. Дана функция $g(x) = \sin(2x) + x^3$.

1. Найдем область определения функции $g(x)$. Функции $\sin(2x)$ и $x^3$ определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения их суммы — это все множество действительных чисел: $D(g) = \mathbb{R}$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Теперь проверим выполнение условия для нечетной или четной функции. Найдем $g(-x)$:

$g(-x) = \sin(2(-x)) + (-x)^3$.

Используем известные свойства функций: синус — нечетная функция, то есть $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$; степенная функция с нечетным показателем также является нечетной, то есть $(-x)^{2n+1} = -x^{2n+1}$.

Применяя эти свойства, получаем:

$g(-x) = -\sin(2x) - x^3$.

Теперь вынесем знак минус за скобки:

$g(-x) = -(\sin(2x) + x^3)$.

Так как выражение в скобках равно исходной функции $g(x)$, мы имеем:

$g(-x) = -g(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $g(-x) = -g(x)$, данная функция является нечетной. Это также следует из того факта, что функция $g(x)$ является суммой двух нечетных функций ($h_1(x) = \sin(2x)$ и $h_2(x) = x^3$), а сумма нечетных функций всегда является нечетной функцией.

Ответ: функция нечетная.