Номер 1, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. Найдите производную функции:

А. $y=\sin((4x-1)^2)$

Б. $f(x) = \sqrt{\operatorname{ctg}x \cdot \sin\frac{x}{2}}$

А. $y = \sin(4x-1)^2$

Данная функция является сложной, поэтому для нахождения ее производной необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Функция представляет собой композицию трех функций: $y=f(g(h(x)))$, где $h(x) = 4x-1$, $g(v) = v^2$, $f(u) = \sin u$.

Производная сложной функции находится по формуле: $y' = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Поэтапно найдем производные:

1. Производная внешней функции $f(u) = \sin u$ равна $f'(u) = \cos u$.

2. Производная средней функции $g(v) = v^2$ равна $g'(v) = 2v$.

3. Производная внутренней функции $h(x) = 4x-1$ равна $h'(x) = 4$.

Теперь соберем все вместе, подставляя соответствующие выражения:

$y' = (\sin((4x-1)^2))' = \cos((4x-1)^2) \cdot ((4x-1)^2)'$

Производная $((4x-1)^2)'$ также находится по цепному правилу:

$((4x-1)^2)' = 2(4x-1)^1 \cdot (4x-1)' = 2(4x-1) \cdot 4 = 8(4x-1)$.

Подставляем это выражение в производную исходной функции:

$y' = \cos((4x-1)^2) \cdot 8(4x-1)$.

Запишем в более привычном виде:

$y' = 8(4x-1)\cos((4x-1)^2)$.

Ответ: $y' = 8(4x-1)\cos((4x-1)^2)$.

Б. $f(x) = \sqrt{\ctg x \cdot \sin\frac{x}{2}}$

Для нахождения производной этой функции сначала упростим выражение под корнем, используя тригонометрические тождества. Воспользуемся определением котангенса $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ и формулой синуса двойного угла $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$.

$\ctg x \cdot \sin\frac{x}{2} = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin\frac{x}{2} = \frac{\cos x}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} \cdot \sin\frac{x}{2} = \frac{\cos x}{2\cos\frac{x}{2}}$.

Таким образом, исходную функцию можно переписать в виде:

$f(x) = \sqrt{\frac{\cos x}{2\cos\frac{x}{2}}}$.

Это сложная функция вида $f(x)=\sqrt{u(x)}$, где $u(x) = \frac{\cos x}{2\cos\frac{x}{2}}$. Ее производная находится по формуле $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Найдем производную $u'(x)$ по правилу дифференцирования частного $(\frac{g}{h})' = \frac{g'h - gh'}{h^2}$:

$u'(x) = \left(\frac{\cos x}{2\cos\frac{x}{2}}\right)' = \frac{(\cos x)'(2\cos\frac{x}{2}) - (\cos x)(2\cos\frac{x}{2})'}{(2\cos\frac{x}{2})^2}$

$u'(x) = \frac{-\sin x \cdot 2\cos\frac{x}{2} - \cos x \cdot 2(-\sin\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2})}{4\cos^2\frac{x}{2}} = \frac{-2\sin x \cos\frac{x}{2} + \cos x \sin\frac{x}{2}}{4\cos^2\frac{x}{2}}$.

Преобразуем числитель, используя $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ и $2\cos^2\frac{x}{2} = 1 + \cos x$:

$-2(2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2})\cos\frac{x}{2} + \cos x \sin\frac{x}{2} = -4\sin\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2} + \cos x \sin\frac{x}{2} = \sin\frac{x}{2}(-4\cos^2\frac{x}{2} + \cos x)$.

$\sin\frac{x}{2}(-2(1+\cos x) + \cos x) = \sin\frac{x}{2}(-2-2\cos x + \cos x) = -\sin\frac{x}{2}(2+\cos x)$.

Итак, производная подкоренного выражения:

$u'(x) = -\frac{\sin\frac{x}{2}(2+\cos x)}{4\cos^2\frac{x}{2}}$.

Теперь найдем производную $f'(x)$:

$f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \frac{-\frac{\sin\frac{x}{2}(2+\cos x)}{4\cos^2\frac{x}{2}}}{2\sqrt{\frac{\cos x}{2\cos\frac{x}{2}}}} = -\frac{\sin\frac{x}{2}(2+\cos x)}{8\cos^2\frac{x}{2}} \cdot \sqrt{\frac{2\cos\frac{x}{2}}{\cos x}}$

$f'(x) = -\frac{\sin\frac{x}{2}(2+\cos x)}{8\cos^2\frac{x}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}\sqrt{\cos\frac{x}{2}}}{\sqrt{\cos x}} = -\frac{\sqrt{2}\sin\frac{x}{2}(2+\cos x)}{8\cos^{3/2}\frac{x}{2}\sqrt{\cos x}}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{\sqrt{2}\sin\frac{x}{2}(2+\cos x)}{8\cos^{3/2}\frac{x}{2}\sqrt{\cos x}}$.