Номер 3, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке графика с абсциссой $x_0$:

А.
$y = \frac{x^3 + 1}{3}$, $x_0 = -1$.

Б.
$y = x \cos x$, $x_0 = \frac{\pi}{2}$.

А. $y = \frac{x^3+1}{3}, x_0 = -1$.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ следующий:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(x_0) = f(-1) = \frac{(-1)^3 + 1}{3} = \frac{-1 + 1}{3} = \frac{0}{3} = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{x^3+1}{3}\right)' = \frac{1}{3}(x^3+1)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$. Это значение является угловым коэффициентом касательной:

$f'(x_0) = f'(-1) = (-1)^2 = 1$.

4. Подставим найденные значения $x_0=-1$, $f(x_0)=0$ и $f'(x_0)=1$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = 0 + 1 \cdot (x - (-1))$

$y = x + 1$.

Ответ: $y = x + 1$.

Б. $y = x \cos x, x_0 = \frac{\pi}{2}$.

Используем ту же формулу уравнения касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f(x_0) = f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \cos(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \cdot 0 = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Так как функция является произведением двух сомножителей, используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x \cos x)' = (x)' \cos x + x (\cos x)' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x \sin x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = 0 - \frac{\pi}{2} \cdot 1 = -\frac{\pi}{2}$.

4. Подставим найденные значения $x_0=\frac{\pi}{2}$, $f(x_0)=0$ и $f'(x_0)=-\frac{\pi}{2}$ в формулу уравнения касательной:

$y = 0 + (-\frac{\pi}{2}) \cdot (x - \frac{\pi}{2})$

$y = -\frac{\pi}{2}x + \frac{\pi^2}{4}$.

Ответ: $y = -\frac{\pi}{2}x + \frac{\pi^2}{4}$.