Страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

7.

А. Цена акции сначала уменьшилась на 20%, а затем увеличилась на 20%. На сколько процентов изменилась цена по сравнению с первоначальной?

Б. Цена акции сначала увеличилась на 40%, а затем уменьшилась на 40%. На сколько процентов изменилась цена по сравнению с первоначальной.

А.

Обозначим первоначальную цену акции как $x$.
1. Сначала цена уменьшилась на 20%. Чтобы найти новую цену, нужно вычесть 20% от первоначальной цены.
Уменьшение на 20% эквивалентно умножению на коэффициент $(1 - 20/100) = 0.8$.
Цена после уменьшения: $C_1 = x \cdot (1 - 0.20) = 0.8x$.
2. Затем цена увеличилась на 20%. Важно отметить, что 20% теперь рассчитываются от новой цены ($C_1$), а не от первоначальной ($x$).
Увеличение на 20% эквивалентно умножению на коэффициент $(1 + 20/100) = 1.2$.
Конечная цена: $C_2 = C_1 \cdot (1 + 0.20) = (0.8x) \cdot 1.2 = 0.96x$.
3. Теперь сравним конечную цену ($0.96x$) с первоначальной ($x$).
Разница составляет $x - 0.96x = 0.04x$.
Чтобы выразить это изменение в процентах, разделим разницу на первоначальную цену и умножим на 100%:
$\frac{0.04x}{x} \cdot 100\% = 0.04 \cdot 100\% = 4\%$.
Поскольку конечная цена меньше первоначальной, цена уменьшилась.

Ответ: цена уменьшилась на 4%.

Б.

Обозначим первоначальную цену акции как $y$.
1. Сначала цена увеличилась на 40%. Это эквивалентно умножению на коэффициент $(1 + 40/100) = 1.4$.
Цена после увеличения: $C_1 = y \cdot (1 + 0.40) = 1.4y$.
2. Затем цена уменьшилась на 40% от новой цены ($C_1$). Это эквивалентно умножению на коэффициент $(1 - 40/100) = 0.6$.
Конечная цена: $C_2 = C_1 \cdot (1 - 0.40) = (1.4y) \cdot 0.6 = 0.84y$.
3. Сравним конечную цену ($0.84y$) с первоначальной ($y$).
Разница составляет $y - 0.84y = 0.16y$.
Выразим изменение в процентах:
$\frac{0.16y}{y} \cdot 100\% = 0.16 \cdot 100\% = 16\%$.
Конечная цена меньше первоначальной, следовательно, цена уменьшилась.

Ответ: цена уменьшилась на 16%.

8. Найдите область значений функции:

А. $y=2\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-5$;

Б. $y=3\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1$.

А. Для нахождения области значений функции $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 5$ необходимо исходить из области значений основной тригонометрической функции $\cos(t)$.
1. Область значений функции косинус есть отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого аргумента $t$ (в данном случае $t = x + \frac{\pi}{3}$) выполняется двойное неравенство:
$-1 \le \cos(x + \frac{\pi}{3}) \le 1$.
2. Умножим все части этого неравенства на 2. Так как 2 является положительным числом, знаки неравенства сохраняются:
$2 \cdot (-1) \le 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) \le 2 \cdot 1$
$-2 \le 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) \le 2$.
3. Теперь вычтем 5 из всех частей неравенства:
$-2 - 5 \le 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 5 \le 2 - 5$
$-7 \le y \le -3$.
Таким образом, область значений данной функции – это все числа на отрезке от -7 до -3.
Ответ: $E(y) = [-7; -3]$.

Б. Для нахождения области значений функции $y = 3\sin(x - \frac{\pi}{4}) + 1$ используется аналогичный подход, основанный на области значений функции $\sin(t)$.
1. Область значений функции синус также есть отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого аргумента $t$ (в данном случае $t = x - \frac{\pi}{4}$) выполняется двойное неравенство:
$-1 \le \sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 1$.
2. Умножим все части этого неравенства на 3. Знак неравенства не изменится, так как 3 > 0:
$3 \cdot (-1) \le 3\sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 3 \cdot 1$
$-3 \le 3\sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 3$.
3. Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-3 + 1 \le 3\sin(x - \frac{\pi}{4}) + 1 \le 3 + 1$
$-2 \le y \le 4$.
Таким образом, область значений данной функции – это все числа на отрезке от -2 до 4.
Ответ: $E(y) = [-2; 4]$.

1. Найдите производные функций:

А. $f(x) = \cos^3 2x - x^4 + \frac{1}{x^2+x} + 2\sqrt{x}$;

Б. $y=\sin^3 x^5$.

А. Для того чтобы найти производную функции $f(x) = \cos^3 2x - x^4 + \frac{1}{x^2+x} + 2\sqrt{x}$, мы найдем производную каждого слагаемого по отдельности, используя правила дифференцирования. Производная суммы функций равна сумме производных этих функций.
1. Производная первого слагаемого $(\cos^3 2x)'$. Это сложная функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$ и производную косинуса.
$(\cos^3 2x)' = 3\cos^2 2x \cdot (\cos 2x)' = 3\cos^2 2x \cdot (-\sin 2x) \cdot (2x)' = 3\cos^2 2x \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 = -6\sin 2x \cos^2 2x$.
2. Производная второго слагаемого $(-x^4)'$. Используем правило для степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$.
$(-x^4)' = -4x^3$.
3. Производная третьего слагаемого $(\frac{1}{x^2+x})'$. Используем правило для производной дроби $(\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2}$.
$(\frac{1}{x^2+x})' = -\frac{(x^2+x)'}{(x^2+x)^2} = -\frac{2x+1}{(x^2+x)^2}$.
4. Производная четвертого слагаемого $(2\sqrt{x})'$. Представим корень как степень $\frac{1}{2}$ и используем правило для степенной функции.
$(2\sqrt{x})' = (2x^{1/2})' = 2 \cdot \frac{1}{2} x^{1/2-1} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Теперь сложим все полученные производные, чтобы найти производную исходной функции:
$f'(x) = -6\sin 2x \cos^2 2x - 4x^3 - \frac{2x+1}{(x^2+x)^2} + \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Ответ: $f'(x) = -6\sin 2x \cos^2 2x - 4x^3 - \frac{2x+1}{(x^2+x)^2} + \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Б. Найдем производную функции $y = \sin^3 x^5$. Это сложная функция вида $f(g(h(x)))$, где $f(u)=u^3$, $g(v)=\sin v$ и $h(x)=x^5$. Мы будем использовать цепное правило дифференцирования последовательно.
1. Сначала берем производную по внешней функции (степенной):
$y' = (\sin^3 x^5)' = 3\sin^2 x^5 \cdot (\sin x^5)'$.
2. Затем находим производную от внутренней функции $\sin x^5$, которая также является сложной:
$(\sin x^5)' = \cos x^5 \cdot (x^5)'$.
3. Находим производную от $x^5$:
$(x^5)' = 5x^4$.
4. Теперь собираем все части вместе:
$(\sin x^5)' = \cos x^5 \cdot 5x^4$.
5. Подставляем это в выражение из шага 1:
$y' = 3\sin^2 x^5 \cdot (5x^4 \cos x^5)$.
6. Упрощаем, перемножая числовые коэффициенты и располагая множители в стандартном порядке:
$y' = 15x^4 \sin^2 x^5 \cos x^5$.
Ответ: $y' = 15x^4 \sin^2 x^5 \cos x^5$.

$x+x$

2. Исследуйте на четность и нечетность функции:

А. $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$;

Б. $g(x) = \sin 2x + x^3$.

А. Дана функция $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$.

Для исследования функции на четность или нечетность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат. То есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ должен ей принадлежать.

2. Для всех $x$ из области определения должно выполняться одно из равенств:

• $f(-x) = f(x)$ (функция является четной).
• $f(-x) = -f(x)$ (функция является нечетной).

Сначала найдем область определения функции $f(x)$. Так как это дробно-рациональная функция, ее знаменатель не может быть равен нулю:

$x - 1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$.

Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь проверим ее на симметричность. Возьмем значение $x = -1$. Оно принадлежит области определения, так как $-1 \neq 1$. Однако, противоположное значение $-x = -(-1) = 1$ не принадлежит области определения. Поскольку область определения не симметрична относительно начала координат, функция не может быть ни четной, ни нечетной. Такие функции называют функциями общего вида.

Дополнительно можно проверить и второе условие. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)+1}{(-x)-1} = \frac{1-x}{-1-x} = \frac{-(x-1)}{-(x+1)} = \frac{x-1}{x+1}$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = \frac{x-1}{x+1} \neq f(x) = \frac{x+1}{x-1}$

$f(-x) = \frac{x-1}{x+1} \neq -f(x) = -\frac{x+1}{x-1}$

Ни одно из условий четности или нечетности не выполняется, что подтверждает наш вывод.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Б. Дана функция $g(x) = \sin(2x) + x^3$.

1. Найдем область определения функции $g(x)$. Функции $\sin(2x)$ и $x^3$ определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения их суммы — это все множество действительных чисел: $D(g) = \mathbb{R}$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Теперь проверим выполнение условия для нечетной или четной функции. Найдем $g(-x)$:

$g(-x) = \sin(2(-x)) + (-x)^3$.

Используем известные свойства функций: синус — нечетная функция, то есть $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$; степенная функция с нечетным показателем также является нечетной, то есть $(-x)^{2n+1} = -x^{2n+1}$.

Применяя эти свойства, получаем:

$g(-x) = -\sin(2x) - x^3$.

Теперь вынесем знак минус за скобки:

$g(-x) = -(\sin(2x) + x^3)$.

Так как выражение в скобках равно исходной функции $g(x)$, мы имеем:

$g(-x) = -g(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $g(-x) = -g(x)$, данная функция является нечетной. Это также следует из того факта, что функция $g(x)$ является суммой двух нечетных функций ($h_1(x) = \sin(2x)$ и $h_2(x) = x^3$), а сумма нечетных функций всегда является нечетной функцией.

Ответ: функция нечетная.

3. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке графика с абсциссой $x_0$:

А.
$y = \frac{x^3 + 1}{3}$, $x_0 = -1$.

Б.
$y = x \cos x$, $x_0 = \frac{\pi}{2}$.

А. $y = \frac{x^3+1}{3}, x_0 = -1$.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ следующий:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(x_0) = f(-1) = \frac{(-1)^3 + 1}{3} = \frac{-1 + 1}{3} = \frac{0}{3} = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{x^3+1}{3}\right)' = \frac{1}{3}(x^3+1)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$. Это значение является угловым коэффициентом касательной:

$f'(x_0) = f'(-1) = (-1)^2 = 1$.

4. Подставим найденные значения $x_0=-1$, $f(x_0)=0$ и $f'(x_0)=1$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = 0 + 1 \cdot (x - (-1))$

$y = x + 1$.

Ответ: $y = x + 1$.

Б. $y = x \cos x, x_0 = \frac{\pi}{2}$.

Используем ту же формулу уравнения касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f(x_0) = f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \cos(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \cdot 0 = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Так как функция является произведением двух сомножителей, используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x \cos x)' = (x)' \cos x + x (\cos x)' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x \sin x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = 0 - \frac{\pi}{2} \cdot 1 = -\frac{\pi}{2}$.

4. Подставим найденные значения $x_0=\frac{\pi}{2}$, $f(x_0)=0$ и $f'(x_0)=-\frac{\pi}{2}$ в формулу уравнения касательной:

$y = 0 + (-\frac{\pi}{2}) \cdot (x - \frac{\pi}{2})$

$y = -\frac{\pi}{2}x + \frac{\pi^2}{4}$.

Ответ: $y = -\frac{\pi}{2}x + \frac{\pi^2}{4}$.

4. Решите уравнения:

А. $ \cos 2x + \sqrt{2} \sin x = 1 $

Б. $ 6 \cos^2 x - 5 \sin x + 5 = 0 $

А. Исходное уравнение: $cos2x + \sqrt{2}sinx = 1$.

Для решения данного уравнения приведем все тригонометрические функции к одному аргументу $x$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos2x = 1 - 2sin^2x$. Эта формула удобна, так как в уравнении уже есть $sinx$.

Подставим выражение для $cos2x$ в исходное уравнение:

$(1 - 2sin^2x) + \sqrt{2}sinx = 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть и упростим:

$1 - 2sin^2x + \sqrt{2}sinx - 1 = 0$

$-2sin^2x + \sqrt{2}sinx = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента при старшей степени:

$2sin^2x - \sqrt{2}sinx = 0$

Это неполное квадратное уравнение относительно $sinx$. Вынесем общий множитель $sinx$ за скобки:

$sinx(2sinx - \sqrt{2}) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $sinx = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решения: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $2sinx - \sqrt{2} = 0$

$2sinx = \sqrt{2}$

$sinx = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решения этого уравнения записываются общей формулой: $x = (-1)^n arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, то $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Б. Исходное уравнение: $6cos^2x - 5sinx + 5 = 0$.

В данном уравнении присутствуют две разные тригонометрические функции: $cosx$ и $sinx$. Чтобы решить его, приведем все к одной функции. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2x + cos^2x = 1$. Из него выразим $cos^2x = 1 - sin^2x$.

Подставим это выражение в уравнение:

$6(1 - sin^2x) - 5sinx + 5 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$6 - 6sin^2x - 5sinx + 5 = 0$

$-6sin^2x - 5sinx + 11 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1:

$6sin^2x + 5sinx - 11 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $sinx$. Сделаем замену переменной: пусть $t = sinx$. Учитывая, что область значений функции синус $[-1, 1]$, на переменную $t$ накладывается ограничение: $-1 \le t \le 1$.

Уравнение принимает вид: $6t^2 + 5t - 11 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-11) = 25 + 264 = 289 = 17^2$

Находим корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{-22}{12} = -\frac{11}{6}$

Теперь выполним обратную замену, учитывая ограничение $-1 \le sinx \le 1$.

1) $sinx = t_1 = 1$. Этот корень удовлетворяет условию $-1 \le 1 \le 1$.

Решением уравнения $sinx = 1$ является серия корней: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $sinx = t_2 = -\frac{11}{6}$. Так как $-\frac{11}{6} \approx -1.83$, это значение не входит в область значений синуса (т.е. $-\frac{11}{6} < -1$). Следовательно, это уравнение решений не имеет.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5.

А. В зоопарке куском веревки длиной $100 \text{ м}$ огораживают загон для зверей, имеющий форму равнобедренного треугольника, основанием которого служит стена павильона. Каким следует выбрать основание треугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Б. Определите размеры открытого бассейна объемом $32 \text{ м}^3$ с квадратным дном, на облицовку дна и стен которого затрачивается наименьшее количество материала.

А.

Пусть загон имеет форму равнобедренного треугольника. Основанием этого треугольника, обозначим его длину как $a$, служит стена павильона. Две другие, равные между собой стороны, обозначим их длину как $b$, огораживаются веревкой. Длина веревки составляет 100 м.

Таким образом, сумма длин боковых сторон равна $2b = 100$ м, откуда длина каждой боковой стороны $b = 50$ м.

Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $h$ — высота, опущенная на основание $a$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и делит его на два равных прямоугольных треугольника. Катетами этих треугольников будут $h$ и $\frac{a}{2}$, а гипотенузой — боковая сторона $b$.

По теореме Пифагора имеем: $h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2$.

Подставим известное значение $b = 50$: $h^2 + \frac{a^2}{4} = 50^2 = 2500$.

Выразим отсюда высоту $h$: $h = \sqrt{2500 - \frac{a^2}{4}}$.

Теперь подставим выражение для $h$ в формулу площади, чтобы получить функцию площади от длины основания $a$:$S(a) = \frac{1}{2}a \sqrt{2500 - \frac{a^2}{4}}$.

Для нахождения наибольшей площади необходимо найти максимум функции $S(a)$. Чтобы упростить вычисления, можно максимизировать квадрат площади $S^2(a)$, так как максимум функции и ее квадрата (для положительных значений) достигается при одном и том же значении аргумента.

$S^2(a) = \left(\frac{1}{2}a \sqrt{2500 - \frac{a^2}{4}}\right)^2 = \frac{a^2}{4} \left(2500 - \frac{a^2}{4}\right) = 625a^2 - \frac{a^4}{16}$.

Найдем производную этой функции по $a$ и приравняем ее к нулю для поиска критических точек:

$\frac{d(S^2)}{da} = (625a^2 - \frac{a^4}{16})' = 1250a - \frac{4a^3}{16} = 1250a - \frac{a^3}{4}$.

$1250a - \frac{a^3}{4} = 0$.

Поскольку длина основания $a$ должна быть больше нуля, мы можем разделить уравнение на $a$: $1250 - \frac{a^2}{4} = 0$.

$\frac{a^2}{4} = 1250 \implies a^2 = 5000$.

$a = \sqrt{5000} = \sqrt{2500 \cdot 2} = 50\sqrt{2}$ м.

Проверка с помощью второй производной подтверждает, что это точка максимума. Таким образом, площадь загона будет наибольшей, когда его основание равно $50\sqrt{2}$ м.

Ответ: Основание треугольника должно быть равно $50\sqrt{2}$ м.

Б.

Пусть бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном и без верхней крышки. Обозначим длину стороны квадратного дна через $x$ (в метрах), а высоту (глубину) бассейна через $h$ (в метрах).

Объем бассейна $V$ задан и равен 32 м³. Формула для объема: $V = (\text{площадь дна}) \cdot (\text{высота}) = x^2 h$.

Из условия задачи имеем: $x^2 h = 32$.

Отсюда можно выразить высоту $h$ через сторону дна $x$: $h = \frac{32}{x^2}$.

Количество материала для облицовки определяется суммарной площадью дна и четырех боковых стен. Обозначим эту площадь как $A$.

$A = (\text{Площадь дна}) + (\text{Площадь боковых стенок}) = x^2 + 4 \cdot (xh)$.

Чтобы найти размеры, минимизирующие расход материала, нужно найти минимум функции $A$. Для этого подставим выражение для $h$ в формулу площади, чтобы получить функцию, зависящую только от переменной $x$:

$A(x) = x^2 + 4x \left(\frac{32}{x^2}\right) = x^2 + \frac{128}{x}$.

Для нахождения минимума функции $A(x)$ найдем ее производную по $x$ и приравняем к нулю.

$A'(x) = \left(x^2 + \frac{128}{x}\right)' = 2x - \frac{128}{x^2}$.

Приравняем производную к нулю:

$2x - \frac{128}{x^2} = 0$.

$2x = \frac{128}{x^2} \implies 2x^3 = 128 \implies x^3 = 64$.

Отсюда находим $x = \sqrt[3]{64} = 4$ м.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, воспользуемся второй производной:

$A''(x) = \left(2x - 128x^{-2}\right)' = 2 - 128(-2)x^{-3} = 2 + \frac{256}{x^3}$.

При $x = 4$, значение второй производной $A''(4) = 2 + \frac{256}{4^3} = 2 + \frac{256}{64} = 2 + 4 = 6$. Поскольку $A''(4) > 0$, при $x = 4$ функция $A(x)$ достигает своего минимума.

Теперь найдем соответствующую высоту бассейна $h$:

$h = \frac{32}{x^2} = \frac{32}{4^2} = \frac{32}{16} = 2$ м.

Таким образом, для наименьшего расхода материала размеры бассейна должны быть следующими: сторона квадратного дна — 4 м, высота — 2 м.

Ответ: Размеры бассейна: дно 4 м × 4 м, высота 2 м.

6. Изобразите схематически фрагмент графика функции $f(x)$ в окрестности точки разрыва $x_0$ (приведите пример такой функции), если:

А. $x_0=2$, $\lim_{x \to 2+0} f(x) = \lim_{x \to 2-0} f(x) = 4$;

Б. $x_0=1$, $\lim_{x \to +0} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to -0} f(x) = 0$.

А. $x_0=2, \lim_{x\to 2-0}f(x)=\lim_{x\to 2+0}f(x)=4$
В данном случае левосторонний и правосторонний пределы в точке $x_0=2$ существуют, конечны и равны друг другу. Это означает, что в точке $x_0=2$ функция имеет устранимый разрыв первого рода. График функции стремится к одной и той же точке $(2, 4)$ как слева, так и справа, но значение функции в самой точке $f(2)$ либо не определено, либо не равно 4.
Схематическое изображение графика:
На координатной плоскости необходимо провести пунктирную вертикальную линию $x=2$. На уровне $y=4$ отметить точку с координатами $(2, 4)$ пустым кружком (это "выколотая" точка). Слева и справа от этой вертикальной линии график функции будет представлять собой линию, приближающуюся к этому пустому кружку, например, фрагмент прямой $y=4$.
Пример функции:
Простейшей функцией, удовлетворяющей этим условиям, является $f(x) = \frac{4(x-2)}{x-2}$. Эта функция равна 4 при всех $x \neq 2$ и не определена в точке $x=2$. Другой пример - кусочно-заданная функция:$f(x) = \begin{cases} 4, & \text{если } x \neq 2 \\ 0, & \text{если } x = 2 \end{cases}$
Ответ: В точке $x_0=2$ разрыв первого рода (устранимый). График функции стремится к точке $(2, 4)$ с обеих сторон, но сама точка "выколота". Пример функции: $f(x) = \frac{4(x-2)}{x-2}$.

Б. $x_0=1, \lim_{x\to 1-0}f(x)=-\infty, \lim_{x\to 1+0}f(x)=0$
В данном случае один из односторонних пределов (левосторонний) равен бесконечности. Это означает, что в точке $x_0=1$ функция имеет разрыв второго рода. Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой для графика функции при приближении слева.
Схематическое изображение графика:
На координатной плоскости необходимо провести вертикальную асимптоту $x=1$ (пунктирной линией). Слева от асимптоты ($x < 1$) график функции уходит вниз, стремясь к $-\infty$ по мере приближения $x$ к 1. Справа от асимптоты ($x > 1$) график функции приближается к точке на оси абсцисс $(1, 0)$. Эта точка $(1, 0)$ является выколотой (пустой кружок).
Пример функции:
Такое поведение удобно описывать с помощью кусочно-заданной функции:$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-1}, & \text{если } x < 1 \\ 0, & \text{если } x > 1 \end{cases}$
Проверим пределы для этой функции:$\lim_{x\to 1-0} \frac{1}{x-1} = \frac{1}{-0} = -\infty$
$\lim_{x\to 1+0} 0 = 0$
Условия задачи выполняются.
Ответ: В точке $x_0=1$ разрыв второго рода. При $x \to 1-0$ график уходит на $-\infty$ (вертикальная асимптота $x=1$). При $x \to 1+0$ график стремится к точке $(1, 0)$. Пример функции: $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-1}, & \text{если } x < 1 \\ 0, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.

7. Найдите наименьший положительный период функции:

А. $y = \text{tg}4x;$

Б. $y = \text{ctg}\frac{x}{3}.$

А. y=tg4x;

Наименьший положительный период функции $y=\text{tg}(x)$ равен $\pi$. Для функции вида $y=A \cdot \text{tg}(kx+b)$ наименьший положительный период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$.В данной функции $y=\text{tg}4x$ коэффициент при переменной $x$ равен $k=4$.Следовательно, период функции равен:$T = \frac{\pi}{|4|} = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

Б. $y=\text{ctg}\frac{x}{3}$.

Наименьший положительный период функции $y=\text{ctg}(x)$ равен $\pi$. Для функции вида $y=A \cdot \text{ctg}(kx+b)$ наименьший положительный период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$.В данной функции $y=\text{ctg}\frac{x}{3}$, которую можно записать как $y=\text{ctg}(\frac{1}{3}x)$, коэффициент при переменной $x$ равен $k=\frac{1}{3}$.Следовательно, период функции равен:$T = \frac{\pi}{|\frac{1}{3}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{3}} = 3\pi$.

Ответ: $3\pi$.