Номер 4, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. Решите систему уравнений:

$\begin{cases} \sin x = \cos y = 1, \\ \sin^2 x - \cos^2 x = 1; \end{cases}$

$\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}, \\ \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y = \frac{1}{6}. \end{cases}$

А. Решение системы:

$$\begin{cases} \sin x + \cos y = 1 \\ \sin^2 x - \cos^2 y = 1 \end{cases}$$

1. Разложение: Заметим, что второе уравнение является разностью квадратов:
   $(\sin x - \cos y)(\sin x + \cos y) = 1$.
2. Подстановка: Так как из первого уравнения $\sin x + \cos y = 1$, подставим это значение:
   $(\sin x - \cos y) \cdot 1 = 1 \implies \sin x - \cos y = 1$.
3. Сложение уравнений: Теперь у нас есть простая система:
   $\begin{cases} \sin x + \cos y = 1 \\ \sin x - \cos y = 1 \end{cases}$
   Сложим их: $2\sin x = 2 \implies \sin x = 1$.
   Вычтем их: $2\cos y = 0 \implies \cos y = 0$.
4. Нахождение корней:
   $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
   $\cos y = 0 \implies y = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n; y = \frac{\pi}{2} + \pi k; n, k \in \mathbb{Z}$.

Б. Решение системы:

$$\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4} \\ \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y = \frac{1}{6} \end{cases}$$

1. Преобразование тангенсов: Распишем тангенсы через синус и косинус:
   $\frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} = \frac{1}{6} \implies 6\sin x \sin y = \cos x \cos y$.
2. Применение формул произведения:
   $\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \cos(x+y))$
   $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y))$
3. Подстановка суммы: Мы знаем, что $x+y = \frac{\pi}{4}$, значит $\cos(x+y) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
   Уравнение принимает вид:
   $6 \cdot \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \frac{\sqrt{2}}{2})$
   $3\cos(x-y) - \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}\cos(x-y) + \frac{\sqrt{2}}{4}$
   $2,5\cos(x-y) = \frac{7\sqrt{2}}{4} \implies \cos(x-y) = \frac{7\sqrt{2}}{10}$.
4. Завершение: Пусть $x-y = \alpha$. Теперь у нас есть система для $(x+y)$ и $(x-y)$.
   $\alpha = \pm \arccos(\frac{7\sqrt{2}}{10}) + 2\pi n$.
   Далее находим $x$ и $y$ методом сложения: $x = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{4} + \alpha)$, $y = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} \pm \frac{1}{2}\arccos\frac{7\sqrt{2}}{10} + \pi n, y = \frac{\pi}{8} \mp \frac{1}{2}\arccos\frac{7\sqrt{2}}{10} - \pi n$.