Номер 11, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

11. (3) Точка наугад бросается на интервал $(a;b)$. Какова вероятность попадания точки в множество $(c;d)$, где:

а) $a \le c \le d \le b$;

б) $c \le a \le d \le b$;

в) $c \le a \le b \le d$.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события A (попадание точки в некоторое множество) в данном случае определяется как отношение меры (длины) этого множества к мере (длине) всего пространства, на которое бросается точка.

Пространством всех элементарных исходов является интервал $(a,b)$. Его длина, или мера, равна $L = b - a$.

Событие, вероятность которого мы ищем, — это попадание точки в множество $(c,d)$. Благоприятным исходом будет попадание точки в пересечение множеств $(a,b)$ и $(c,d)$, то есть в $(a,b) \cap (c,d)$. Длина этого пересечения будет мерой благоприятных исходов, обозначим ее как $l$.

Вероятность $P$ вычисляется по формуле: $P = \frac{l}{L} = \frac{\text{длина}((a,b) \cap (c,d))}{b-a}$.

а) $a \le c \le d \le b$

В этом случае интервал $(c,d)$ полностью содержится в интервале $(a,b)$. Их пересечение — это сам интервал $(c,d)$.

Длина области благоприятных исходов $l$ равна длине интервала $(c,d)$, то есть $l = d-c$.

Вероятность попадания точки в множество $(c,d)$ равна:

$P = \frac{l}{L} = \frac{d-c}{b-a}$

Ответ: $P = \frac{d-c}{b-a}$

б) $c \le a \le d \le b$

В этом случае интервалы $(a,b)$ и $(c,d)$ пересекаются. Пересечением множеств $(a,b)$ и $(c,d)$ является интервал $(a,d)$.

Длина области благоприятных исходов $l$ равна длине интервала $(a,d)$, то есть $l = d-a$.

Вероятность попадания точки в множество $(c,d)$ равна:

$P = \frac{l}{L} = \frac{d-a}{b-a}$

Ответ: $P = \frac{d-a}{b-a}$

в) $c \le a \le b \le d$

В этом случае интервал $(a,b)$ полностью содержится в интервале $(c,d)$. Их пересечение — это сам интервал $(a,b)$.

Длина области благоприятных исходов $l$ равна длине интервала $(a,b)$, то есть $l = b-a$.

Вероятность попадания точки в множество $(c,d)$ равна:

$P = \frac{l}{L} = \frac{b-a}{b-a} = 1$

Это означает, что событие является достоверным. Если точка гарантированно попадает в интервал $(a,b)$, а интервал $(a,b)$ является частью интервала $(c,d)$, то точка гарантированно попадает и в интервал $(c,d)$.

Ответ: $P = 1$