Номер 3, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. (1) Первый член арифметической прогрессии равен $-10$, разность равна $5$. Подбрасывается игральный кубик. Случайная величина $Z$ принимает значение, равное члену арифметической прогрессии, номер которого совпадает с выпавшим количеством очков на кубике. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение величины $Z$.

а) $(5;7)$;

б) $(7;11)$;

в) $(7;11) \cup (14;17)$;

г) А, которое является решением неравенства $-x^2 + 23x - 130 \ge 0$.

По условию задачи, имеется арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = -10$ и разностью $d = 5$. Случайная величина $Z$ принимает значение, равное члену этой прогрессии, номер которого $k$ определяется количеством очков, выпавших на игральном кубике.

Номер $k$ может принимать целые значения от 1 до 6, и вероятность каждого из этих исходов $P(k)$ одинакова и равна $\frac{1}{6}$.

Найдем возможные значения случайной величины $Z$, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_k = a_1 + (k-1)d$:

• При $k=1$: $Z = a_1 = -10 + (1-1) \cdot 5 = -10$
• При $k=2$: $Z = a_2 = -10 + (2-1) \cdot 5 = -5$
• При $k=3$: $Z = a_3 = -10 + (3-1) \cdot 5 = 0$
• При $k=4$: $Z = a_4 = -10 + (4-1) \cdot 5 = 5$
• При $k=5$: $Z = a_5 = -10 + (5-1) \cdot 5 = 10$
• При $k=6$: $Z = a_6 = -10 + (6-1) \cdot 5 = 15$

Таким образом, закон распределения случайной величины $Z$ таков, что она принимает значения $\{-10, -5, 0, 5, 10, 15\}$, каждое с вероятностью $\frac{1}{6}$.

Математическое ожидание

Математическое ожидание $E[Z]$ для дискретной случайной величины вычисляется по формуле $E[Z] = \sum z_i p_i$.

$E[Z] = (-10) \cdot \frac{1}{6} + (-5) \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 10 \cdot \frac{1}{6} + 15 \cdot \frac{1}{6}$

$E[Z] = \frac{1}{6} (-10 - 5 + 0 + 5 + 10 + 15) = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: Математическое ожидание $E[Z] = 2.5$.

Дисперсия

Дисперсию $D[Z]$ найдем по формуле $D[Z] = E[Z^2] - (E[Z])^2$. Для этого сначала вычислим $E[Z^2]$ (математическое ожидание квадрата случайной величины).

$E[Z^2] = \sum z_i^2 p_i = ((-10)^2 \cdot \frac{1}{6}) + ((-5)^2 \cdot \frac{1}{6}) + (0^2 \cdot \frac{1}{6}) + (5^2 \cdot \frac{1}{6}) + (10^2 \cdot \frac{1}{6}) + (15^2 \cdot \frac{1}{6})$

$E[Z^2] = \frac{1}{6} (100 + 25 + 0 + 25 + 100 + 225) = \frac{475}{6}$

Теперь подставим найденные значения в формулу для дисперсии:

$D[Z] = E[Z^2] - (E[Z])^2 = \frac{475}{6} - (2.5)^2 = \frac{475}{6} - (\frac{5}{2})^2 = \frac{475}{6} - \frac{25}{4}$

Приводя дроби к общему знаменателю 12:

$D[Z] = \frac{475 \cdot 2}{12} - \frac{25 \cdot 3}{12} = \frac{950 - 75}{12} = \frac{875}{12}$

Ответ: Дисперсия $D[Z] = \frac{875}{12}$.

Среднеквадратическое отклонение

Среднеквадратическое отклонение $\sigma[Z]$ равно квадратному корню из дисперсии: $\sigma[Z] = \sqrt{D[Z]}$.

$\sigma[Z] = \sqrt{\frac{875}{12}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 35}{12}} = 5\sqrt{\frac{35}{12}}$

Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\sigma[Z] = 5 \cdot \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{12}} = 5 \cdot \frac{\sqrt{35}}{2\sqrt{3}} = 5 \cdot \frac{\sqrt{35}\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{105}}{6}$

Ответ: Среднеквадратическое отклонение $\sigma[Z] = \frac{5\sqrt{105}}{6}$.