Номер 2, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. (2)

В предыдущей задаче вычислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа выбитых очков для каждого стрелка.

Поскольку данные из предыдущей задачи не предоставлены, для решения мы воспользуемся гипотетическими данными, которые часто встречаются в подобных задачах. Предположим, в предыдущей задаче были даны результаты 10 выстрелов для двух стрелков:

Первый стрелок: 8, 7, 9, 10, 8, 9, 7, 8, 10, 6.

Второй стрелок: 9, 9, 8, 8, 10, 10, 7, 7, 6, 6.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение — это меры разброса (изменчивости) данных. Для их вычисления воспользуемся следующими формулами.

Среднее арифметическое значение $\bar{x}$ для набора данных $x_1, x_2, ..., x_n$ (где $n$ — количество значений):
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$

Дисперсия $D(X)$ вычисляется как средний квадрат отклонений от среднего:
$D(X) = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$

Для удобства расчетов можно использовать эквивалентную формулу:
$D(X) = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$

Среднее квадратическое (или стандартное) отклонение $\sigma(X)$ — это корень квадратный из дисперсии:
$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

Расчет для первого стрелка
Данные: $X = \{8, 7, 9, 10, 8, 9, 7, 8, 10, 6\}$. Объем выборки $n=10$.
1. Вычислим среднее арифметическое $\bar{x}_1$:
$\bar{x}_1 = \frac{8+7+9+10+8+9+7+8+10+6}{10} = \frac{82}{10} = 8.2$ очка.
2. Вычислим дисперсию $D_1$. Для этого сначала найдем сумму квадратов значений:
$\sum x_i^2 = 8^2+7^2+9^2+10^2+8^2+9^2+7^2+8^2+10^2+6^2 = 64+49+81+100+64+81+49+64+100+36 = 688$.
Теперь можем найти дисперсию:
$D_1 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x}_1)^2 = \frac{688}{10} - (8.2)^2 = 68.8 - 67.24 = 1.56$.
3. Вычислим среднее квадратическое отклонение $\sigma_1$:
$\sigma_1 = \sqrt{D_1} = \sqrt{1.56} \approx 1.249$ очка.
Ответ: Для первого стрелка дисперсия равна $1.56$, а среднее квадратическое отклонение $\approx 1.249$.

Расчет для второго стрелка
Данные: $Y = \{9, 9, 8, 8, 10, 10, 7, 7, 6, 6\}$. Объем выборки $n=10$.
1. Вычислим среднее арифметическое $\bar{y}$:
$\bar{y} = \frac{9+9+8+8+10+10+7+7+6+6}{10} = \frac{80}{10} = 8.0$ очков.
2. Вычислим дисперсию $D_2$. Найдем сумму квадратов значений:
$\sum y_i^2 = 9^2+9^2+8^2+8^2+10^2+10^2+7^2+7^2+6^2+6^2 = 81+81+64+64+100+100+49+49+36+36 = 660$.
Теперь можем найти дисперсию:
$D_2 = \frac{\sum y_i^2}{n} - (\bar{y})^2 = \frac{660}{10} - (8.0)^2 = 66.0 - 64.0 = 2.0$.
3. Вычислим среднее квадратическое отклонение $\sigma_2$:
$\sigma_2 = \sqrt{D_2} = \sqrt{2} \approx 1.414$ очка.
Ответ: Для второго стрелка дисперсия равна $2.0$, а среднее квадратическое отклонение $\approx 1.414$.

Вывод: У первого стрелка средний результат (8.2) выше, а разброс результатов (дисперсия 1.56, с.к.о. $\approx 1.249$) меньше, чем у второго стрелка (среднее 8.0, дисперсия 2.0, с.к.о. $\approx 1.414$). Это означает, что первый стрелок стреляет в среднем лучше и более стабильно.