Номер 10, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

10. (2) В предыдущей задаче вычислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Поскольку условие задачи ссылается на "предыдущую задачу", текст которой не предоставлен, для решения будет сделано стандартное предположение о ее содержании. Допустим, в предыдущей задаче рассматривалась случайная величина $X$ — число попаданий в мишень при 3-х независимых выстрелах, где вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна $p = 0.8$. Это является классическим примером схемы испытаний Бернулли, а случайная величина $X$ подчиняется биномиальному закону распределения.

Для вычисления дисперсии и среднего квадратического отклонения нам понадобится математическое ожидание $M(X)$. Для биномиального распределения оно вычисляется по формуле $M(X) = np$.

$M(X) = 3 \cdot 0.8 = 2.4$.

Дисперсия

Дисперсия, обозначаемая $D(X)$ или $Var(X)$, является мерой разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, дисперсия вычисляется по формуле:

$D(X) = npq$

где $n$ — число испытаний, $p$ — вероятность успеха в одном испытании, а $q = 1-p$ — вероятность неудачи.

В нашем гипотетическом примере:

$n=3$

$p=0.8$

$q = 1 - 0.8 = 0.2$

Подставляем эти значения в формулу:

$D(X) = 3 \cdot 0.8 \cdot 0.2 = 2.4 \cdot 0.2 = 0.48$.

Также дисперсию можно вычислить по общей формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$. Для этого сначала нужно найти математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$, построив закон распределения $X$. Вероятности $P(X=k) = C_3^k (0.8)^k (0.2)^{3-k}$ равны: $p_0=0.008, p_1=0.096, p_2=0.384, p_3=0.512$.

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 0^2 \cdot 0.008 + 1^2 \cdot 0.096 + 2^2 \cdot 0.384 + 3^2 \cdot 0.512 = 0 + 0.096 + 1.536 + 4.608 = 6.24$.

Тогда $D(X) = 6.24 - (2.4)^2 = 6.24 - 5.76 = 0.48$. Результаты совпадают.

Ответ: Дисперсия равна $0.48$.

Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение, обозначаемое $\sigma(X)$ или $SD(X)$, — это корень квадратный из дисперсии. Оно измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, и интуитивно показывает, насколько в среднем значения отклоняются от математического ожидания.

Формула для вычисления: $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$.

Используя найденное ранее значение дисперсии $D(X) = 0.48$, получаем:

$\sigma(X) = \sqrt{0.48}$.

Вычислим приближенное значение:

$\sigma(X) \approx 0.6928$.

Округлим результат до тысячных:

$\sigma(X) \approx 0.693$.

Ответ: Среднее квадратическое отклонение равно $\sqrt{0.48} \approx 0.693$.