Номер 6, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. (5) В коробке 6 белых и 4 черных шаров. Из нее извлекается шар 5 раз подряд, причем каждый раз вынутый шар возвращается в коробку и шары перемешиваются. Приняв за случайную величину $X$ число извлеченных белых шаров, составьте закон распределения для величины $X$, определите ее математическое ожидание и дисперсию.

В данной задаче мы имеем дело с последовательностью независимых испытаний, так как каждый извлеченный шар возвращается в коробку. Это классический случай схемы Бернулли. Случайная величина $X$ — число извлеченных белых шаров — подчиняется биномиальному закону распределения.

Определим параметры биномиального распределения:

Общее число шаров в коробке: $6$ белых + $4$ черных = $10$ шаров.

Вероятность извлечь белый шар (событие "успех") в одном испытании: $p = \frac{6}{10} = 0.6$.

Вероятность извлечь черный шар (событие "неудача") в одном испытании: $q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$.

Число испытаний (извлечений шара): $n=5$.

Составьте закон распределения для величины X

Случайная величина $X$ может принимать значения $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$. Вероятность того, что событие наступит ровно $k$ раз в $n$ испытаниях, вычисляется по формуле Бернулли:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

Подставим наши значения $n=5$, $p=0.6$, $q=0.4$ и рассчитаем вероятности для каждого возможного значения $k$:
При $k=0$: $P(X=0) = C_5^0 \cdot (0.6)^0 \cdot (0.4)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.01024 = 0.01024$
При $k=1$: $P(X=1) = C_5^1 \cdot (0.6)^1 \cdot (0.4)^4 = 5 \cdot 0.6 \cdot 0.0256 = 0.0768$
При $k=2$: $P(X=2) = C_5^2 \cdot (0.6)^2 \cdot (0.4)^3 = 10 \cdot 0.36 \cdot 0.064 = 0.2304$
При $k=3$: $P(X=3) = C_5^3 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^2 = 10 \cdot 0.216 \cdot 0.16 = 0.3456$
При $k=4$: $P(X=4) = C_5^4 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^1 = 5 \cdot 0.1296 \cdot 0.4 = 0.2592$
При $k=5$: $P(X=5) = C_5^5 \cdot (0.6)^5 \cdot (0.4)^0 = 1 \cdot 0.07776 \cdot 1 = 0.07776$

Проверка: сумма всех вероятностей должна быть равна 1.
$0.01024 + 0.0768 + 0.2304 + 0.3456 + 0.2592 + 0.07776 = 1.0$

Ответ: Закон распределения случайной величины $X$ (числа извлеченных белых шаров) представлен в виде ряда распределения:
$k$ (число белых шаров) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
--- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
$P(X=k)$ | 0.01024 | 0.0768 | 0.2304 | 0.3456 | 0.2592 | 0.07776

Определите ее математическое ожидание и дисперсию

Для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, математическое ожидание (среднее ожидаемое число успехов) вычисляется по формуле:
$M(X) = n \cdot p$
Подставляя наши значения, получаем:
$M(X) = 5 \cdot 0.6 = 3$

Дисперсия (мера разброса значений случайной величины) для биномиального распределения вычисляется по формуле:
$D(X) = n \cdot p \cdot q$
Подставляя наши значения, получаем:
$D(X) = 5 \cdot 0.6 \cdot 0.4 = 3 \cdot 0.4 = 1.2$

Ответ: Математическое ожидание $M(X) = 3$, дисперсия $D(X) = 1.2$.