Номер 8, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. (2) Первый член геометрической прогрессии равен 8, знаменатель равен 0,5. Подбрасывается игральный кубик. Случайная величина $Z$ принимает значение, равное члену геометрической прогрессии, номер которого совпадает с выпавшим количеством очков на кубике. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение величины $Z$

По условию задачи, мы имеем дело с геометрической прогрессией ($b_n$), где первый член $b_1 = 8$, а знаменатель $q = 0.5$. Случайная величина $Z$ принимает значение члена прогрессии $b_k$, где $k$ — это количество очков, выпавшее на игральном кубике. Поскольку кубик стандартный, возможно 6 исходов (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6), и вероятность каждого исхода $P(k)$ равна $\frac{1}{6}$.

Найдем возможные значения случайной величины $Z$ по формуле $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

При $k=1$: $Z = b_1 = 8 \cdot (0.5)^{1-1} = 8 \cdot 1 = 8$
При $k=2$: $Z = b_2 = 8 \cdot (0.5)^{2-1} = 8 \cdot 0.5 = 4$
При $k=3$: $Z = b_3 = 8 \cdot (0.5)^{3-1} = 8 \cdot 0.25 = 2$
При $k=4$: $Z = b_4 = 8 \cdot (0.5)^{4-1} = 8 \cdot 0.125 = 1$
При $k=5$: $Z = b_5 = 8 \cdot (0.5)^{5-1} = 8 \cdot 0.0625 = 0.5$
При $k=6$: $Z = b_6 = 8 \cdot (0.5)^{6-1} = 8 \cdot 0.03125 = 0.25$

Таким образом, закон распределения случайной величины $Z$ выглядит так:

$Z$: 8, 4, 2, 1, 0.5, 0.25
$P(Z)$: $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{6}$

Математическое ожидание
Математическое ожидание $E(Z)$ вычисляется по формуле $E(Z) = \sum z_i \cdot p_i$.
$E(Z) = 8 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{6} + 0.5 \cdot \frac{1}{6} + 0.25 \cdot \frac{1}{6}$
$E(Z) = \frac{1}{6} \cdot (8 + 4 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25) = \frac{1}{6} \cdot 15.75$
Представим $15.75$ в виде дроби: $15.75 = 15 \frac{3}{4} = \frac{63}{4}$.
$E(Z) = \frac{1}{6} \cdot \frac{63}{4} = \frac{63}{24} = \frac{21}{8} = 2.625$
Ответ: $E(Z) = \frac{21}{8} = 2.625$

Дисперсия
Дисперсия $D(Z)$ вычисляется по формуле $D(Z) = E(Z^2) - (E(Z))^2$.
Сначала найдем $E(Z^2)$:
$E(Z^2) = \sum z_i^2 \cdot p_i = \frac{1}{6} \cdot (8^2 + 4^2 + 2^2 + 1^2 + 0.5^2 + 0.25^2)$
$E(Z^2) = \frac{1}{6} \cdot (64 + 16 + 4 + 1 + 0.25 + 0.0625) = \frac{1}{6} \cdot 85.3125$
Представим $85.3125$ в виде дроби: $85.3125 = 85 \frac{5}{16} = \frac{1365}{16}$.
$E(Z^2) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1365}{16} = \frac{1365}{96}$. Сократим на 3: $E(Z^2) = \frac{455}{32}$.
Теперь вычислим дисперсию:
$D(Z) = E(Z^2) - (E(Z))^2 = \frac{455}{32} - (\frac{21}{8})^2 = \frac{455}{32} - \frac{441}{64}$
$D(Z) = \frac{455 \cdot 2}{32 \cdot 2} - \frac{441}{64} = \frac{910}{64} - \frac{441}{64} = \frac{910 - 441}{64} = \frac{469}{64}$
В десятичном виде: $D(Z) = 7.328125$.
Ответ: $D(Z) = \frac{469}{64}$

Среднеквадратическое отклонение
Среднеквадратическое отклонение $\sigma(Z)$ равно квадратному корню из дисперсии: $\sigma(Z) = \sqrt{D(Z)}$.
$\sigma(Z) = \sqrt{\frac{469}{64}} = \frac{\sqrt{469}}{\sqrt{64}} = \frac{\sqrt{469}}{8}$
Приближенное значение: $\sigma(Z) \approx \frac{21.656}{8} \approx 2.707$.
Ответ: $\sigma(Z) = \frac{\sqrt{469}}{8}$