Номер 2, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. С помощью элементарных преобразований постройте график функций:

А. $y=-x^2+4|x|+5;$

Б. $y=\cos2x+1.$

А. $y = -x^2 + 4|x| + 5$

Для построения графика данной функции воспользуемся элементарными преобразованиями.

1. Заметим, что функция является четной, так как $x^2 = |x|^2$. Мы можем переписать ее как $y = -|x|^2 + 4|x| + 5$. Это означает, что $y(x) = y(-x)$, и ее график симметричен относительно оси Oy. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси Oy.

2. При $x \ge 0$, модуль $|x|$ раскрывается как $x$, и функция принимает вид: $y = -x^2 + 4x + 5$.

3. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). Для удобства построения выделим полный квадрат:

$y = -(x^2 - 4x) + 5 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5 = -(x-2)^2 + 4 + 5 = -(x-2)^2 + 9$.

4. График функции $y = -(x-2)^2 + 9$ получается из графика базовой параболы $y=x^2$ следующей последовательностью преобразований:

а) $y_1 = x^2$ – базовая парабола с вершиной в точке $(0, 0)$.

б) $y_2 = -x^2$ – отражение графика $y_1$ относительно оси Ox.

в) $y_3 = -(x-2)^2$ – сдвиг графика $y_2$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

г) $y_4 = -(x-2)^2 + 9$ – сдвиг графика $y_3$ на 9 единиц вверх вдоль оси Oy.

Вершина этой параболы находится в точке $(2, 9)$.

5. Строим график параболы $y = -(x-2)^2 + 9$, но только для области $x \ge 0$. Эта часть графика начинается в точке $(0, 5)$ (пересечение с осью Oy), поднимается до вершины в точке $(2, 9)$ и затем опускается, пересекая ось Ox в точке $(5, 0)$ (корень уравнения $-x^2+4x+5=0$ равен $x=5$).

6. Теперь, используя свойство четности, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy. Получаем вторую половину графика для $x < 0$. Она будет иметь вершину в точке $(-2, 9)$ и пересекать ось Ox в точке $(-5, 0)$.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 4|x| + 5$ состоит из двух дуг парабол, симметричных относительно оси Oy. Вершины парабол находятся в точках $(2, 9)$ и $(-2, 9)$. График пересекает ось Oy в точке $(0, 5)$, а ось Ox в точках $(-5, 0)$ и $(5, 0)$.

Б. $y = \cos 2x + 1$

Для построения графика функции $y = \cos 2x + 1$ выполним последовательные элементарные преобразования над графиком базовой функции $y = \cos x$.

1. Построение графика $y_1 = \cos x$. Это стандартная косинусоида. Ее основные свойства: период $T=2\pi$, амплитуда равна 1, область значений $[-1, 1]$. Ключевые точки на одном периоде: $(0, 1)$, $(\pi/2, 0)$, $(\pi, -1)$, $(3\pi/2, 0)$, $(2\pi, 1)$.

2. Преобразование в $y_2 = \cos 2x$. Это преобразование вида $f(kx)$. Оно соответствует сжатию графика $y_1 = \cos x$ по горизонтали (к оси Oy) в 2 раза. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Амплитуда и область значений остаются прежними. Ключевые точки нового графика: $(0, 1)$, $(\pi/4, 0)$, $(\pi/2, -1)$, $(3\pi/4, 0)$, $(\pi, 1)$.

3. Преобразование в $y = \cos 2x + 1$. Это преобразование вида $f(x) + c$. Оно соответствует сдвигу графика $y_2 = \cos 2x$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

- Ось симметрии (средняя линия) графика смещается с $y=0$ на $y=1$.

- Область значений смещается на 1 вверх и становится $[0, 2]$.

- Все точки графика смещаются на 1 единицу вверх. Новые ключевые точки: $(0, 2)$, $(\pi/4, 1)$, $(\pi/2, 0)$, $(3\pi/4, 1)$, $(\pi, 2)$.

Ответ: График функции $y = \cos 2x + 1$ – это косинусоида, сжатая в 2 раза по горизонтали и сдвинутая на 1 единицу вверх. Период функции равен $\pi$, область значений – $[0, 2]$. Максимумы функции равны 2 (в точках $x = k\pi$), а минимумы равны 0 (в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$), где $k$ – любое целое число.