Номер 1, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. Найдите пределы:

А. $\lim_{x \to 7} \frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-7x}$; $\lim_{x \to 1} \frac{x^3+5x^2-7x+1}{2x^2+3x-5}$

Б. $\lim_{x \to 17} \frac{4-\sqrt{x-1}}{x^2-17x}$; $\lim_{x \to 1} \frac{2x^3+4x^2-x-2}{3x^2+7x+2}$

А. Решение первого предела: $ \lim_{x \to 7} \frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-7x} $.
При подстановке $x=7$ в числитель и знаменатель получаем нули ($2-\sqrt{7-3}=0$ и $7^2-7 \cdot 7=0$), что приводит к неопределенности вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю выражение $2+\sqrt{x-3}$.
$ \lim_{x \to 7} \frac{(2-\sqrt{x-3})(2+\sqrt{x-3})}{(x^2-7x)(2+\sqrt{x-3})} = \lim_{x \to 7} \frac{2^2-(\sqrt{x-3})^2}{x(x-7)(2+\sqrt{x-3})} = \lim_{x \to 7} \frac{4-(x-3)}{x(x-7)(2+\sqrt{x-3})} = \lim_{x \to 7} \frac{7-x}{x(x-7)(2+\sqrt{x-3})} $.
Вынесем минус за скобки в числителе и сократим дробь на $(x-7)$:
$ \lim_{x \to 7} \frac{-(x-7)}{x(x-7)(2+\sqrt{x-3})} = \lim_{x \to 7} \frac{-1}{x(2+\sqrt{x-3})} $.
Теперь подставляем $x=7$ в полученное выражение:
$ \frac{-1}{7(2+\sqrt{7-3})} = \frac{-1}{7(2+\sqrt{4})} = \frac{-1}{7(2+2)} = -\frac{1}{28} $.
Ответ: $-\frac{1}{28}$.

Решение второго предела: $ \lim_{x \to 1} \frac{x^3+5x^2-7x+1}{2x^2+3x-5} $.
Подстановка $x=1$ дает неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $1^3+5(1)^2-7(1)+1=0$ и $2(1)^2+3(1)-5=0$. Это означает, что $x=1$ является корнем многочленов в числителе и знаменателе, поэтому мы можем разложить их на множители, выделив $(x-1)$.
Разложение числителя: $x^3+5x^2-7x+1 = (x-1)(x^2+6x-1)$.
Разложение знаменателя: $2x^2+3x-5 = (x-1)(2x+5)$.
Подставим разложения в предел и сократим на $(x-1)$:
$ \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2+6x-1)}{(x-1)(2x+5)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2+6x-1}{2x+5} $.
Подставляем $x=1$ в упрощенное выражение:
$ \frac{1^2+6(1)-1}{2(1)+5} = \frac{1+6-1}{2+5} = \frac{6}{7} $.
Ответ: $\frac{6}{7}$.

Б. Решение первого предела: $ \lim_{x \to 17} \frac{4-\sqrt{x-1}}{x^2-17x} $.
При $x=17$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$, так как $4-\sqrt{17-1}=0$ и $17^2-17\cdot 17=0$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $4+\sqrt{x-1}$:
$ \lim_{x \to 17} \frac{(4-\sqrt{x-1})(4+\sqrt{x-1})}{(x^2-17x)(4+\sqrt{x-1})} = \lim_{x \to 17} \frac{16-(x-1)}{x(x-17)(4+\sqrt{x-1})} = \lim_{x \to 17} \frac{17-x}{x(x-17)(4+\sqrt{x-1})} $.
Сократим дробь на $(x-17)$:
$ \lim_{x \to 17} \frac{-1}{x(4+\sqrt{x-1})} $.
Подставляем $x=17$ в итоговое выражение:
$ \frac{-1}{17(4+\sqrt{17-1})} = \frac{-1}{17(4+\sqrt{16})} = \frac{-1}{17(4+4)} = -\frac{1}{136} $.
Ответ: $-\frac{1}{136}$.

Решение второго предела: $ \lim_{x \to -1} \frac{2x^3+4x^2-x-2}{3x^2+7x+2} $.
В данном случае неопределенности нет. Выполним прямую подстановку значения $x=-1$.
Числитель: $2(-1)^3+4(-1)^2-(-1)-2 = 2(-1)+4(1)+1-2 = -2+4+1-2 = 1$.
Знаменатель: $3(-1)^2+7(-1)+2 = 3(1)-7+2 = 3-7+2 = -2$.
Поскольку в результате подстановки мы получаем конечное число, предел равен значению функции в этой точке:
$ \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.