Номер 5, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. Решите системы уравнений:

A.

$\begin{cases} \cos x + \cos y = \sqrt{3}, \\ x + y = \frac{\pi}{3}; \end{cases}$

Б.

$\begin{cases} x + y = \frac{7\pi}{3}, \\ \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{3}{2}. \end{cases}$

C. Вычислите!

А. Дана система уравнений:

$\begin{cases}\cos x + \cos y = \sqrt{3}, \\x + y = \frac{\pi}{3}\end{cases}$

Для решения преобразуем первое уравнение, используя формулу суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} = \sqrt{3}$

Из второго уравнения системы нам известно, что $x + y = \frac{\pi}{3}$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$2 \cos\left(\frac{\pi/3}{2}\right) \cos\frac{x-y}{2} = \sqrt{3}$

$2 \cos\frac{\pi}{6} \cos\frac{x-y}{2} = \sqrt{3}$

Поскольку значение $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, уравнение принимает вид:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\frac{x-y}{2} = \sqrt{3}$

$\sqrt{3} \cos\frac{x-y}{2} = \sqrt{3}$

Разделив обе части на $\sqrt{3}$, получаем:

$\cos\frac{x-y}{2} = 1$

Это равенство выполняется, когда аргумент косинуса равен $2\pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$):

$\frac{x-y}{2} = 2\pi k$

$x-y = 4\pi k$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$\begin{cases}x + y = \frac{\pi}{3}, \\x - y = 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$:

$(x+y) + (x-y) = \frac{\pi}{3} + 4\pi k$

$2x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k$

$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $y$:

$(x+y) - (x-y) = \frac{\pi}{3} - 4\pi k$

$2y = \frac{\pi}{3} - 4\pi k$

$y = \frac{\pi}{6} - 2\pi k$

Таким образом, решения системы имеют вид пар $(x, y)$.

Ответ: $(\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} - 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Б. Дана система уравнений:

$\begin{cases}x + y = \frac{7\pi}{3}, \\\sin^2 x + \sin^2 y = \frac{3}{2}\end{cases}$

Преобразуем второе уравнение, используя формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 - \cos(2y)}{2} = \frac{3}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$(1 - \cos(2x)) + (1 - \cos(2y)) = 3$

$2 - (\cos(2x) + \cos(2y)) = 3$

$\cos(2x) + \cos(2y) = -1$

Теперь применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\cos\frac{2x+2y}{2}\cos\frac{2x-2y}{2} = -1$

$2\cos(x+y)\cos(x-y) = -1$

Из первого уравнения системы подставим значение $x+y = \frac{7\pi}{3}$:

$2\cos\left(\frac{7\pi}{3}\right)\cos(x-y) = -1$

Вычислим значение косинуса: $\cos\left(\frac{7\pi}{3}\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

$2 \cdot \frac{1}{2} \cos(x-y) = -1$

$\cos(x-y) = -1$

Это равенство выполняется, когда аргумент косинуса равен $\pi + 2\pi n$, где $n$ – любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$):

$x-y = \pi + 2\pi n$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases}x + y = \frac{7\pi}{3}, \\x - y = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\end{cases}$

Сложим уравнения, чтобы найти $x$:

$(x+y) + (x-y) = \frac{7\pi}{3} + \pi + 2\pi n$

$2x = \frac{7\pi}{3} + \frac{3\pi}{3} + 2\pi n = \frac{10\pi}{3} + 2\pi n$

$x = \frac{5\pi}{3} + \pi n$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $y$:

$(x+y) - (x-y) = \frac{7\pi}{3} - (\pi + 2\pi n)$

$2y = \frac{7\pi}{3} - \frac{3\pi}{3} - 2\pi n = \frac{4\pi}{3} - 2\pi n$

$y = \frac{2\pi}{3} - \pi n$

Таким образом, решения системы имеют вид пар $(x, y)$.

Ответ: $(\frac{5\pi}{3} + \pi n, \frac{2\pi}{3} - \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.