Номер 1, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

1. Определите, является ли функции непрерывными:

А. $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{при } x \le -1, \\ 3x+4, & \text{при } x \ge -1 \end{cases}$ в точке $x_0 = -1$;

Б. $g(x) = \begin{cases} 2x-3, & \text{при } x < 1 \\ x^2-2, & \text{при } x \ge 1 \end{cases}$ в точке $x_0 = 1$.

А. Чтобы определить, является ли функция $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{при } x \le -1 \\ 3x+4, & \text{при } x \ge -1 \end{cases}$ непрерывной в точке $x_0 = -1$, необходимо проверить выполнение трех условий непрерывности:
1. Функция определена в точке $x_0$.
2. Существует предел функции в этой точке (левый и правый односторонние пределы равны).
3. Значение функции в точке равно ее пределу в этой точке.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$. Согласно определению функции, при $x = -1$ мы можем использовать любую из двух формул. Проверим, что они дают одинаковый результат.
Используя $f(x) = x^2$, получаем: $f(-1) = (-1)^2 = 1$.
Используя $f(x) = 3x+4$, получаем: $f(-1) = 3(-1) + 4 = -3 + 4 = 1$.
Значения совпадают, следовательно, функция определена в точке $x_0 = -1$ и $f(-1) = 1$.

2. Найдем односторонние пределы в точке $x_0 = -1$.
Левосторонний предел (при $x \to -1^-$, т.е. $x < -1$). В этом случае используется формула $f(x) = x^2$.
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} x^2 = (-1)^2 = 1$.
Правосторонний предел (при $x \to -1^+$, т.е. $x > -1$). В этом случае используется формула $f(x) = 3x+4$.
$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (3x+4) = 3(-1) + 4 = 1$.
Так как левосторонний и правосторонний пределы равны ($1=1$), то предел функции в точке $x_0=-1$ существует и равен 1: $\lim_{x \to -1} f(x) = 1$.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = -1$.
$f(-1) = 1$ и $\lim_{x \to -1} f(x) = 1$.
Поскольку $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1)$, все три условия непрерывности выполнены.

Ответ: функция $f(x)$ является непрерывной в точке $x_0 = -1$.

Б. Проверим на непрерывность функцию $g(x) = \begin{cases} 2x-3, & \text{при } x < 1 \\ x^2-2, & \text{при } x \ge 1 \end{cases}$ в точке $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$. Согласно условию, при $x \ge 1$ используется формула $g(x) = x^2 - 2$.
$g(1) = 1^2 - 2 = 1 - 2 = -1$.
Функция определена в точке $x_0 = 1$.

2. Найдем односторонние пределы в точке $x_0 = 1$.
Левосторонний предел (при $x \to 1^-$, т.е. $x < 1$). В этом случае используется формула $g(x) = 2x - 3$.
$\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x-3) = 2(1) - 3 = -1$.
Правосторонний предел (при $x \to 1^+$, т.е. $x > 1$). В этом случае используется формула $g(x) = x^2 - 2$.
$\lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2-2) = 1^2 - 2 = -1$.
Так как левосторонний и правосторонний пределы равны ($-1 = -1$), то предел функции в точке $x_0=1$ существует и равен -1: $\lim_{x \to 1} g(x) = -1$.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = 1$.
$g(1) = -1$ и $\lim_{x \to 1} g(x) = -1$.
Поскольку $\lim_{x \to 1} g(x) = g(1)$, все три условия непрерывности выполнены.

Ответ: функция $g(x)$ является непрерывной в точке $x_0 = 1$.