Номер 6, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. А. Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Б. Из вазы с фруктами, в которой лежат 9 яблок и 6 груш, надо выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно сделать такой выбор?

А.

В данной задаче нам нужно выбрать 3 дежурных из 15 членов группы. Поскольку порядок, в котором выбирают дежурных, не имеет значения (группа из Иванова, Петрова и Сидорова — это та же самая группа, что и Петров, Сидоров, Иванов), мы используем формулу для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Здесь $n = 15$ (общее количество туристов), а $k = 3$ (количество дежурных).

Подставим значения в формулу и произведем расчет:

$C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12!}{3 \times 2 \times 1 \times 12!}$

Сократив $12!$, получим:

$C_{15}^3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = \frac{2730}{6} = 455$

Следовательно, существует 455 способов выбрать трех дежурных.

Ответ: 455.

Б.

Эту задачу нужно решать в два этапа, используя правило произведения в комбинаторике. Сначала мы найдем количество способов выбрать яблоки, а затем — количество способов выбрать груши. Общее число способов будет произведением этих двух результатов.

1. Выбор яблок.

Нужно выбрать 3 яблока из 9 имеющихся. Порядок выбора не важен, поэтому используем формулу сочетаний, где $n = 9$ и $k = 3$.

$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

Таким образом, существует 84 способа выбрать 3 яблока.

2. Выбор груш.

Нужно выбрать 2 груши из 6 имеющихся. Порядок также не имеет значения, поэтому используем формулу сочетаний, где $n = 6$ и $k = 2$.

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15$

Таким образом, существует 15 способов выбрать 2 груши.

3. Общее количество способов.

Чтобы найти общее количество способов сделать требуемый выбор, нужно перемножить количество способов выбора яблок на количество способов выбора груш:

$N = C_9^3 \times C_6^2 = 84 \times 15 = 1260$

Следовательно, существует 1260 способов выбрать 3 яблока и 2 груши.

Ответ: 1260.