Номер 8, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. Найдите предел:

А. $\lim_{x\to 0} \frac{x+\sin 2x}{\sin x}$.

Б. $\lim_{x\to 0} \left(\frac{5x^3}{1+5x^2} + \frac{1-3x^2}{3x+1}\right)$.

А. Найдем предел $ \lim_{x \to 0} \frac{x+\sin 2x}{\sin x} $.
При подстановке $ x=0 $ в выражение получаем неопределенность вида $ \frac{0+\sin(0)}{\sin(0)} = \frac{0}{0} $.
Для раскрытия неопределенности преобразуем выражение, разделив его на сумму двух дробей:
$ \lim_{x \to 0} \left(\frac{x}{\sin x} + \frac{\sin 2x}{\sin x}\right) $
По свойству пределов, предел суммы равен сумме пределов (если они существуют):
$ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} + \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin x} $
Найдем каждый предел по отдельности.
Первый предел является следствием первого замечательного предела $ \left( \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 \right) $:
$ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{1}{1} = 1 $.
Для второго предела воспользуемся формулой синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:
$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x \cos x}{\sin x} $
Поскольку $ x \to 0 $, но $ x \ne 0 $, можно сократить на $ \sin x $:
$ \lim_{x \to 0} 2 \cos x = 2 \cdot \cos(0) = 2 \cdot 1 = 2 $.
Теперь сложим полученные значения пределов:
$ 1 + 2 = 3 $.
Ответ: 3

Б. Найдем предел $ \lim_{x \to 0} \left( \frac{5x^3}{1+5x^2} + \frac{1-3x^2}{3x+1} \right) $.
Предел суммы функций равен сумме пределов этих функций (при условии, что они существуют).
$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{5x^3}{1+5x^2} + \frac{1-3x^2}{3x+1} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{5x^3}{1+5x^2} + \lim_{x \to 0} \frac{1-3x^2}{3x+1} $
Обе функции в слагаемых являются рациональными и непрерывными в точке $ x=0 $, так как их знаменатели не обращаются в ноль при $ x=0 $. Следовательно, мы можем найти их пределы путем прямой подстановки значения $ x=0 $.
Для первого слагаемого:
$ \lim_{x \to 0} \frac{5x^3}{1+5x^2} = \frac{5 \cdot 0^3}{1+5 \cdot 0^2} = \frac{0}{1} = 0 $.
Для второго слагаемого:
$ \lim_{x \to 0} \frac{1-3x^2}{3x+1} = \frac{1-3 \cdot 0^2}{3 \cdot 0+1} = \frac{1-0}{0+1} = \frac{1}{1} = 1 $.
Складываем полученные значения:
$ 0 + 1 = 1 $.
Ответ: 1