Номер 5, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

5. Найдите точки экстремума функций:

А. $f(x)=x+\cos x$;

Б. $f(x)=2-x+\sin x$.

А. f(x) = x + cos x

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее производную, приравнять к нулю и решить полученное уравнение. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками. Затем нужно исследовать знак производной в окрестности каждой критической точки. Экстремум существует в критической точке, если производная при переходе через эту точку меняет знак.

1. Находим область определения функции.
Функция $f(x) = x + \cos x$ определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:
$f'(x) = (x + \cos x)' = (x)' + (\cos x)' = 1 - \sin x$.

3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0$
$1 - \sin x = 0$
$\sin x = 1$
Критические точки: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4. Исследуем знак производной.
Производная $f'(x) = 1 - \sin x$. Поскольку область значений функции $\sin x$ есть отрезок $[-1, 1]$, то для любого $x$ выполняется неравенство $-1 \le \sin x \le 1$.
Следовательно, $1 - \sin x \ge 1 - 1 = 0$.
Это означает, что производная $f'(x)$ всегда неотрицательна ($f'(x) \ge 0$). Она обращается в ноль в критических точках, но не меняет свой знак при переходе через них (знак производной слева и справа от критической точки — плюс).
Поскольку производная не меняет знак, то в этих точках экстремума нет. Функция является монотонно возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция не имеет точек экстремума.

Б. f(x) = 2 - x + sin x

Действуем по аналогии с предыдущим пунктом.

1. Находим область определения функции.
Функция $f(x) = 2 - x + \sin x$ определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:
$f'(x) = (2 - x + \sin x)' = (2)' - (x)' + (\sin x)' = 0 - 1 + \cos x = \cos x - 1$.

3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0$
$\cos x - 1 = 0$
$\cos x = 1$
Критические точки: $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4. Исследуем знак производной.
Производная $f'(x) = \cos x - 1$. Поскольку область значений функции $\cos x$ есть отрезок $[-1, 1]$, то для любого $x$ выполняется неравенство $-1 \le \cos x \le 1$.
Следовательно, $\cos x - 1 \le 1 - 1 = 0$.
Это означает, что производная $f'(x)$ всегда не положительна ($f'(x) \le 0$). Она обращается в ноль в критических точках, но не меняет свой знак при переходе через них (знак производной слева и справа от критической точки — минус).
Поскольку производная не меняет знак, то в этих точках экстремума нет. Функция является монотонно убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция не имеет точек экстремума.