Номер 8, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

8. Вычислите предел:

А. $\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} - x)$;

Б. $\lim_{n \to +\infty} \frac{2x}{x^2+2}$.

А. Вычислим предел $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} - x)$.

При подстановке предельного значения $x \to +\infty$ в выражение, мы получаем неопределенность вида $\infty - \infty$. Чтобы избавиться от этой неопределенности, домножим и разделим выражение на сопряженное ему, то есть на $(\sqrt{x^2+x} + x)$.

$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2+x} - x)(\sqrt{x^2+x} + x)}{\sqrt{x^2+x} + x}$

Применим в числителе формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{x^2+x})^2 - x^2 = (x^2+x) - x^2 = x$.

После упрощения числителя предел принимает вид:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+x} + x}$

Теперь мы получили неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Для её раскрытия разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $x$, то есть на $x$. Для $x > 0$ справедливо равенство $x = \sqrt{x^2}$, поэтому можем внести $x$ под корень.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+x}}{x} + \frac{x}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2+x}{x^2}} + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}} + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1}$

Поскольку при $x \to +\infty$ величина $\frac{1}{x}$ стремится к нулю ($\frac{1}{x} \to 0$), получаем:

$\frac{1}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

Б. Вычислим предел $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x^2+2}$.

При $x \to +\infty$ числитель $2x \to \infty$ и знаменатель $x^2+2 \to \infty$. Мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $x$ в знаменателе, то есть на $x^2$.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x^2+2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2x}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2}{x}}{1 + \frac{2}{x^2}}$

Так как при $x \to +\infty$, выражения $\frac{2}{x}$ и $\frac{2}{x^2}$ стремятся к нулю:

$\frac{0}{1+0} = 0$

Также можно отметить, что степень многочлена в числителе (1) меньше степени многочлена в знаменателе (2), что означает, что при $x \to \infty$ знаменатель растет быстрее числителя, и предел их отношения равен нулю.

Ответ: $0$.