Номер 4, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. Найдите производные функций:

А. $y = \sin^3 2x$;

Б. $f(x) = \frac{(x+1)^2}{x-2}$.

А. Чтобы найти производную функции $y=\sin^3 2x$, мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Функцию можно представить в виде $y = u^3$, где $u = \sin(v)$, а $v = 2x$. Производная сложной функции находится как произведение производных каждой из составляющих функций.

Формула производной сложной функции: $(f(g(h(x))))' = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

1. Производная внешней степенной функции $(u^3)' = 3u^2$. В нашем случае это $3(\sin(2x))^2 = 3\sin^2(2x)$.

2. Производная функции синуса $(\sin(v))' = \cos(v)$. В нашем случае это $\cos(2x)$.

3. Производная аргумента синуса $(2x)' = 2$.

Теперь необходимо перемножить все полученные производные:

$y' = ((\sin(2x))^3)' = 3\sin^2(2x) \cdot (\sin(2x))' = 3\sin^2(2x) \cdot \cos(2x) \cdot (2x)'$

$y' = 3\sin^2(2x) \cdot \cos(2x) \cdot 2$

Сгруппировав множители, получаем окончательный вид производной:

$y' = 6\sin^2(2x)\cos(2x)$

Ответ: $y' = 6\sin^2(2x)\cos(2x)$

Б. Для нахождения производной функции $f(x)=\frac{(x+1)^2}{x-2}$ мы воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби), которое имеет вид: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае, числитель $u(x) = (x+1)^2$, а знаменатель $v(x) = x-2$.

Сначала найдем производные числителя и знаменателя:

Производная числителя $u'(x) = ((x+1)^2)'$. По цепному правилу, это $2(x+1)^{2-1} \cdot (x+1)' = 2(x+1) \cdot 1 = 2x+2$.

Производная знаменателя $v'(x) = (x-2)' = 1$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(2x+2)(x-2) - (x+1)^2 \cdot 1}{(x-2)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим полученное выражение:

$f'(x) = \frac{(2x^2 - 4x + 2x - 4) - (x^2 + 2x + 1)}{(x-2)^2} = \frac{2x^2 - 2x - 4 - x^2 - 2x - 1}{(x-2)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$f'(x) = \frac{x^2 - 4x - 5}{(x-2)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{x^2 - 4x - 5}{(x-2)^2}$