Номер 7, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. А. Найдите абсциссу $x_0$ точки графика функции $y = f(x)$, в которой касательная к нему параллельна заданной прямой: $y=x^2-3x+2$, прямая $2x+y=5$.

Б. Найдите абсциссу $x_0$ точки графика функции $y = f(x)$, в которой касательная к нему параллельна заданной прямой: $y=8\sin x+\sqrt{27}\operatorname{tg}x+x$, прямая $y=x+3$; $x_0 \in [-\pi; 0]$.

А.

Условие параллельности касательной к графику функции $y = f(x)$ и прямой $y = kx + b$ заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $f'(x_0)$.

1. Найдем угловой коэффициент $k$ заданной прямой $2x + y = 5$. Для этого выразим $y$:
$y = -2x + 5$
Отсюда угловой коэффициент $k = -2$.

2. Найдем производную функции $y = f(x) = x^2 - 3x + 2$:
$f'(x) = (x^2 - 3x + 2)' = 2x - 3$.

3. Приравняем значение производной в точке $x_0$ к угловому коэффициенту прямой:
$f'(x_0) = k$
$2x_0 - 3 = -2$

4. Решим полученное уравнение относительно $x_0$:
$2x_0 = 3 - 2$
$2x_0 = 1$
$x_0 = 0.5$

Ответ: $x_0 = 0.5$

Б.

Действуем по тому же алгоритму.

1. Найдем угловой коэффициент $k$ заданной прямой $y = x + 3$.
Угловой коэффициент этой прямой $k = 1$.

2. Найдем производную функции $y = f(x) = 8\sin x + \sqrt{27}\tan x + x$.
Заметим, что $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.
$f'(x) = (8\sin x + 3\sqrt{3}\tan x + x)' = 8\cos x + 3\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + 1$.

3. Приравняем значение производной в точке $x_0$ к угловому коэффициенту прямой:
$f'(x_0) = k$
$8\cos x_0 + \frac{3\sqrt{3}}{\cos^2 x_0} + 1 = 1$

4. Решим полученное уравнение относительно $x_0$ на интервале $[-\pi; 0]$.
$8\cos x_0 + \frac{3\sqrt{3}}{\cos^2 x_0} = 0$
Область определения функции и ее производной требует, чтобы $\cos x_0 \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $\cos^2 x_0$:
$8\cos^3 x_0 + 3\sqrt{3} = 0$
$8\cos^3 x_0 = -3\sqrt{3}$
$\cos^3 x_0 = -\frac{3\sqrt{3}}{8}$
$\cos x_0 = \sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}}{8}} = -\frac{\sqrt[3]{(\sqrt{3})^3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение уравнения $\cos x_0 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет вид $x_0 = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$.
Следовательно, $x_0 = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

5. Найдем корень, принадлежащий заданному отрезку $x_0 \in [-\pi; 0]$.
Рассмотрим серию корней $x_0 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. При $n=0$, $x_0 = \frac{5\pi}{6}$, что не входит в отрезок. При $n=-1$, $x_0 = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$, что также не входит в отрезок.
Рассмотрим серию корней $x_0 = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. При $n=0$, $x_0 = -\frac{5\pi}{6}$. Этот корень удовлетворяет условию $-\pi \le -\frac{5\pi}{6} \le 0$.

Ответ: $x_0 = -\frac{5\pi}{6}$