Номер 2, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

2. Построй графики функций:

А. $y = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)$;

Б. $y=2\cos\frac{x}{2}$.

А. $y = \text{tg}(\frac{\pi}{3} - 2x)$

Для построения графика данной функции выполним анализ и последовательные преобразования, исходя из базового графика функции $y = \text{tg}(x)$.

1. Преобразуем исходное выражение.
Используя свойство нечетности тангенса ($\text{tg}(-u) = -\text{tg}(u)$), можем записать:
$y = \text{tg}(\frac{\pi}{3} - 2x) = \text{tg}(-(2x - \frac{\pi}{3})) = -\text{tg}(2x - \frac{\pi}{3})$.
Вынесем коэффициент 2 за скобки в аргументе тангенса:
$y = -\text{tg}(2(x - \frac{\pi}{6}))$.
Эта форма удобна для анализа преобразований.

2. Определим последовательность преобразований графика $y = \text{tg}(x)$.
а) Сжатие графика $y = \text{tg}(x)$ вдоль оси OX в 2 раза. Получаем функцию $y = \text{tg}(2x)$. Ее период $T = \frac{\pi}{2}$.
б) Сдвиг полученного графика вправо вдоль оси OX на $\frac{\pi}{6}$. Получаем функцию $y = \text{tg}(2(x - \frac{\pi}{6}))$.
в) Симметричное отражение последнего графика относительно оси OX. Получаем искомую функцию $y = -\text{tg}(2(x - \frac{\pi}{6}))$.

3. Найдем основные свойства функции для построения.
- Период: $T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{|-2|} = \frac{\pi}{2}$.
- Вертикальные асимптоты: Аргумент тангенса должен быть не равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\frac{\pi}{3} - 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
$-2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n$
$-2x = \frac{\pi}{6} + \pi n$
$x = -\frac{\pi}{12} - \frac{\pi n}{2}$.
Асимптоты: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. (например, $x=...-\frac{7\pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}...$)
- Нули функции (точки пересечения с осью OX): $y=0$ при $\text{tg}(\frac{\pi}{3} - 2x)=0$.
$\frac{\pi}{3} - 2x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$-2x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$
$x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi n}{2}$.
Нули функции: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. (например, $x=...-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}...$)
- Точка пересечения с осью OY: При $x=0$, $y = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$. Точка $(0, \sqrt{3})$.
- Поведение функции: Из-за знака "-" перед тангенсом (или знака "-" перед $x$ в аргументе), функция является убывающей на каждом интервале между асимптотами.

Построение:
1. Начертить координатную плоскость.
2. Провести вертикальные асимптоты $x = -\frac{\pi}{12}$, $x = \frac{5\pi}{12}$ и т.д. с шагом $\frac{\pi}{2}$.
3. Отметить на оси OX нули функции: $x=\frac{\pi}{6}$, $x=\frac{2\pi}{3}$ и т.д.
4. Отметить точку пересечения с осью OY $(0, \sqrt{3})$.
5. На каждом интервале между асимптотами построить ветвь тангенсоиды, которая убывает от $+\infty$ до $-\infty$, проходя через соответствующий нуль функции. Например, на интервале $(-\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12})$ кривая пройдет через точки $(0, \sqrt{3})$ и $(\frac{\pi}{6}, 0)$.
6. Повторить построение ветви на других интервалах с учетом периода $T = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: График функции $y = \text{tg}(\frac{\pi}{3} - 2x)$ представляет собой тангенсоиду с периодом $\frac{\pi}{2}$, убывающую на каждом из интервалов области определения. Асимптоты графика задаются уравнениями $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. Нули функции находятся в точках $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. График пересекает ось ординат в точке $(0, \sqrt{3})$.

Б. $y = 2\cos\frac{x}{2}$

Для построения графика данной функции выполним анализ и последовательные преобразования, исходя из базового графика функции $y = \cos(x)$.

1. Определим последовательность преобразований графика $y = \cos(x)$.
а) Растяжение графика $y = \cos(x)$ вдоль оси OX в 2 раза (горизонтальное растяжение). Это преобразование задается коэффициентом $\frac{1}{2}$ при $x$. Получаем функцию $y = \cos(\frac{x}{2})$. Период функции увеличивается в 2 раза и становится $T = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.
б) Растяжение полученного графика вдоль оси OY в 2 раза (вертикальное растяжение). Это преобразование задается множителем 2 перед функцией. Получаем искомую функцию $y = 2\cos(\frac{x}{2})$. Амплитуда функции увеличивается в 2 раза и становится равной 2.

2. Найдем основные свойства функции для построения.
- Период: $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{|1/2|} = 4\pi$.
- Амплитуда: $A=2$.
- Область значений: $[-2, 2]$.
- Четность: Функция четная, так как $y(-x) = 2\cos(\frac{-x}{2}) = 2\cos(\frac{x}{2}) = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
- Ключевые точки на одном периоде, например, на отрезке $[0, 4\pi]$:
- При $x=0$, $y = 2\cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$ (точка максимума).
- При $x=\pi$, $y = 2\cos(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 0 = 0$ (точка пересечения с осью OX).
- При $x=2\pi$, $y = 2\cos(\frac{2\pi}{2}) = 2\cos(\pi) = 2 \cdot (-1) = -2$ (точка минимума).
- При $x=3\pi$, $y = 2\cos(\frac{3\pi}{2}) = 2 \cdot 0 = 0$ (точка пересечения с осью OX).
- При $x=4\pi$, $y = 2\cos(\frac{4\pi}{2}) = 2\cos(2\pi) = 2 \cdot 1 = 2$ (точка максимума).

Построение:
1. Начертить координатную плоскость.
2. Отметить на осях ключевые точки, найденные выше: $(0, 2), (\pi, 0), (2\pi, -2), (3\pi, 0), (4\pi, 2)$.
3. Соединить эти точки плавной линией, имеющей форму косинусоиды.
4. Используя свойство периодичности ($T=4\pi$) и четности (симметрия относительно оси OY), продолжить график влево и вправо.

Ответ: График функции $y = 2\cos\frac{x}{2}$ является косинусоидой с периодом $4\pi$ и амплитудой 2. Область значений функции — отрезок $[-2, 2]$. Максимумы, равные 2, достигаются в точках $x=4\pi n$, а минимумы, равные -2, в точках $x=2\pi+4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. График пересекает ось абсцисс в точках $x=\pi+2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.