Номер 6, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

6. Вычислите:

А. $\sin\left(2\arccos\frac{12}{13}\right)$

Б. $\operatorname{ctg}\left(\frac{1}{2}\arcsin\frac{4}{13}\right)$

А.

Для вычисления значения выражения $\sin\left(2\arccos\frac{12}{13}\right)$ введем замену.

Пусть $\alpha = \arccos\frac{12}{13}$. Согласно определению арккосинуса, это означает, что $\cos\alpha = \frac{12}{13}$ и угол $\alpha$ находится в диапазоне $0 \le \alpha \le \pi$.

Исходное выражение принимает вид $\sin(2\alpha)$. Применим формулу синуса двойного угла:

$\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Значение $\cos\alpha$ нам известно. Найдем $\sin\alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$.

Поскольку $0 \le \alpha \le \pi$, значение $\sin\alpha$ является неотрицательным. Таким образом:

$\sin\alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$.

Теперь мы можем подставить найденные значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ в формулу для $\sin(2\alpha)$:

$\sin\left(2\arccos\frac{12}{13}\right) = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{13} = \frac{120}{169}$.

Ответ: $\frac{120}{169}$.

Б.

Для вычисления значения выражения $\ctg\left(\frac{1}{2}\arcsin\frac{4}{13}\right)$ также введем замену.

Пусть $\beta = \arcsin\frac{4}{13}$. Согласно определению арксинуса, это означает, что $\sin\beta = \frac{4}{13}$ и угол $\beta$ находится в диапазоне $-\frac{\pi}{2} \le \beta \le \frac{\pi}{2}$.

Исходное выражение принимает вид $\ctg\left(\frac{\beta}{2}\right)$. Воспользуемся формулой котангенса половинного угла:

$\ctg\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{1 + \cos\beta}{\sin\beta}$.

Значение $\sin\beta$ нам известно. Найдем $\cos\beta$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$.

$\cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta = 1 - \left(\frac{4}{13}\right)^2 = 1 - \frac{16}{169} = \frac{169 - 16}{169} = \frac{153}{169}$.

Поскольку $-\frac{\pi}{2} \le \beta \le \frac{\pi}{2}$, значение $\cos\beta$ является неотрицательным. Таким образом:

$\cos\beta = \sqrt{\frac{153}{169}} = \frac{\sqrt{153}}{13} = \frac{\sqrt{9 \cdot 17}}{13} = \frac{3\sqrt{17}}{13}$.

Теперь подставим найденные значения $\sin\beta$ и $\cos\beta$ в формулу для $\ctg\left(\frac{\beta}{2}\right)$:

$\ctg\left(\frac{1}{2}\arcsin\frac{4}{13}\right) = \frac{1 + \frac{3\sqrt{17}}{13}}{\frac{4}{13}}$.

Упростим полученное дробное выражение:

$\frac{\frac{13 + 3\sqrt{17}}{13}}{\frac{4}{13}} = \frac{13 + 3\sqrt{17}}{4}$.

Ответ: $\frac{13 + 3\sqrt{17}}{4}$.