Номер 7, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. Определите, являются ли функции непрерывными:

А. $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$ в точке $x_0=1;$

Б. $f(x)=\frac{2+x}{2-x}$ в точке $x_0=-2.$

Функция является непрерывной в точке $x_0$, если выполняются три условия:
1. Функция определена в точке $x_0$ (то есть, $x_0$ входит в область определения функции).
2. Существует предел функции в этой точке $\lim_{x \to x_0} f(x)$.
3. Значение функции в точке равно ее пределу в этой точке: $f(x_0) = \lim_{x \to x_0} f(x)$.

А. $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$ в точке $x_0=1$.

1. Проверим, определена ли функция в точке $x_0=1$. Знаменатель дроби при $x=1$ равен $1+1=2$, что не равно нулю. Следовательно, функция определена в этой точке. Найдем ее значение:
$f(1) = \frac{1-1}{1+1} = \frac{0}{2} = 0$.

2. Найдем предел функции при $x \to 1$. Так как функция является элементарной и определена в точке $x_0=1$, предел равен значению функции в этой точке:
$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{x+1} = \frac{1-1}{1+1} = \frac{0}{2} = 0$.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0=1$:
$f(1) = 0$ и $\lim_{x \to 1} f(x) = 0$.
Поскольку $f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$, все три условия непрерывности выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = 1$.

Б. $f(x)=\frac{2+x}{2-x}$ в точке $x_0=-2$.

1. Проверим, определена ли функция в точке $x_0=-2$. Знаменатель дроби при $x=-2$ равен $2-(-2)=4$, что не равно нулю. Следовательно, функция определена в этой точке. Найдем ее значение:
$f(-2) = \frac{2+(-2)}{2-(-2)} = \frac{0}{4} = 0$.

2. Найдем предел функции при $x \to -2$. Так как функция является элементарной и определена в точке $x_0=-2$, предел равен значению функции в этой точке:
$\lim_{x \to -2} \frac{2+x}{2-x} = \frac{2+(-2)}{2-(-2)} = \frac{0}{4} = 0$.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0=-2$:
$f(-2) = 0$ и $\lim_{x \to -2} f(x) = 0$.
Поскольку $f(-2) = \lim_{x \to -2} f(x)$, все три условия непрерывности выполнены.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0 = -2$.