Номер 4, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

4. Решите неравенства:

А. $\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4}-\sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Б. $-4\sin 2x \cos 2x \ge \sqrt{2}$

А.

Рассмотрим неравенство $ \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4} - \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Сначала упростим левую часть. Вычислим значение произведения $ \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4} $. Известно, что $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Следовательно, $ \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Другой способ — использовать формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, из которой следует $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $. При $ \alpha = \frac{\pi}{4} $ получаем: $ \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $.

Подставим полученное значение в исходное неравенство:

$ \frac{1}{2} - \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Теперь выразим $ \sin x $:

$ -\sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} $

Умножим обе части неравенства на -1, не забыв изменить знак неравенства на противоположный:

$ \sin x > \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} $

$ \sin x > \frac{1+\sqrt{2}}{2} $

Область значений функции $ y = \sin x $ — это отрезок $ [-1, 1] $. Оценим значение в правой части неравенства. Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ \frac{1+\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1+1.414}{2} = \frac{2.414}{2} = 1.207 $.

Поскольку $ \frac{1+\sqrt{2}}{2} > 1 $, а значение $ \sin x $ не может превышать 1, неравенство $ \sin x > \frac{1+\sqrt{2}}{2} $ не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Б.

Рассмотрим неравенство $ -4\sin 2x \cos 2x \ge \sqrt{2} $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Преобразуем левую часть неравенства. Если принять $ \alpha = 2x $, то $ 2\sin 2x \cos 2x = \sin(2 \cdot 2x) = \sin(4x) $.

Тогда $ -4\sin 2x \cos 2x = -2 \cdot (2\sin 2x \cos 2x) = -2\sin(4x) $.

Неравенство принимает вид:

$ -2\sin(4x) \ge \sqrt{2} $

Разделим обе части на -2 и изменим знак неравенства на противоположный:

$ \sin(4x) \le -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Введем новую переменную $ t = 4x $. Неравенство примет вид $ \sin t \le -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. На тригонометрической окружности значениям $t$, для которых $ \sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, соответствуют углы $ t = -\frac{\pi}{4} $ и $ t = -\frac{3\pi}{4} $.

Неравенству $ \sin t \le -\frac{\sqrt{2}}{2} $ удовлетворяют все точки на дуге окружности, расположенной ниже прямой $ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Следовательно, решение для $t$ можно записать в виде двойного неравенства (с учетом периодичности):

$ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le t \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Произведем обратную замену $ t = 4x $:

$ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le 4x \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi n $

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 4:

$ \frac{1}{4} \left(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n\right) \le x \le \frac{1}{4} \left(-\frac{\pi}{4} + 2\pi n\right) $

$ -\frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{2} \le x \le -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in [-\frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}; -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}], \quad n \in \mathbb{Z} $.