Номер 7, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

7. А. Число 18 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Б. Число 12 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

А. Пусть первое положительное слагаемое равно $x$, а второе – $y$. Согласно условию, оба слагаемых должны быть положительными, то есть $x > 0$ и $y > 0$.
Их сумма равна 18:$x + y = 18$Из этого уравнения выразим $y$:$y = 18 - x$Поскольку $y > 0$, то $18 - x > 0$, что означает $x < 18$. Следовательно, значение $x$ находится в интервале $(0, 18)$.
Мы ищем наименьшее значение суммы квадратов этих слагаемых. Составим функцию $S(x)$, представляющую эту сумму:$S(x) = x^2 + y^2 = x^2 + (18 - x)^2$Раскроем скобки и упростим выражение:$S(x) = x^2 + (324 - 36x + x^2) = 2x^2 - 36x + 324$Полученная функция $S(x)$ является квадратичной, а её график — парабола с ветвями, направленными вверх. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине. Чтобы найти точку минимума, найдем производную функции $S(x)$ и приравняем её к нулю.$S'(x) = (2x^2 - 36x + 324)' = 4x - 36$Приравняем производную к нулю:$4x - 36 = 0$$4x = 36$$x = 9$Значение $x=9$ принадлежит интервалу $(0, 18)$, следовательно, это точка минимума.Теперь найдем второе слагаемое:$y = 18 - x = 18 - 9 = 9$Таким образом, для того чтобы сумма квадратов была наименьшей, число 18 необходимо представить как сумму двух одинаковых слагаемых.
Ответ: $18 = 9 + 9$.

Б. Пусть первое слагаемое равно $x$, а второе – $y$. В этом случае нет условия положительности слагаемых.Их сумма равна 12:$x + y = 12$Выразим $y$ через $x$:$y = 12 - x$Мы ищем наименьшее значение суммы кубов этих слагаемых. Составим функцию $C(x)$:$C(x) = x^3 + y^3 = x^3 + (12 - x)^3$Для нахождения точки минимума найдем производную функции $C(x)$ и приравняем ее к нулю.$C'(x) = (x^3 + (12 - x)^3)'$Используя правило дифференцирования сложной функции:$C'(x) = 3x^2 + 3(12 - x)^2 \cdot (12 - x)' = 3x^2 + 3(12 - x)^2 \cdot (-1) = 3x^2 - 3(12 - x)^2$Раскроем скобки и упростим:$C'(x) = 3x^2 - 3(144 - 24x + x^2) = 3x^2 - 432 + 72x - 3x^2 = 72x - 432$Приравняем производную к нулю:$72x - 432 = 0$$72x = 432$$x = \frac{432}{72} = 6$Чтобы проверить, является ли эта точка точкой минимума, найдем вторую производную:$C''(x) = (72x - 432)' = 72$Так как вторая производная $C''(x) = 72 > 0$, точка $x=6$ действительно является точкой минимума.Найдем второе слагаемое:$y = 12 - x = 12 - 6 = 6$Следовательно, для того чтобы сумма кубов была наименьшей, число 12 нужно представить как сумму двух одинаковых слагаемых.
Ответ: $12 = 6 + 6$.