Номер 3, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Пак, Ардакулы

3. Вычислите:

А. $ \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \operatorname{arctg}\sqrt{3}; $

Б. $ \operatorname{ctg} \left( \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} \right). $

А. $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arctan(\sqrt{3})$

Для решения этого выражения необходимо вычислить значение каждого слагаемого по отдельности, а затем сложить результаты.

1. Вычислим $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.
По определению, арксинус числа $x$ (обозначается $\arcsin(x)$) — это угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$.
Нам нужно найти такой угол $\alpha$, что $\sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.
Известно, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как синус является нечетной функцией, то есть $\sin(-z) = -\sin(z)$, получаем:$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Угол $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, следовательно, $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

2. Вычислим $\arctan(\sqrt{3})$.
По определению, арктангенс числа $x$ (обозначается $\arctan(x)$) — это угол $\beta$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$.
Нам нужно найти такой угол $\beta$, что $\tan(\beta) = \sqrt{3}$ и $-\frac{\pi}{2} < \beta < \frac{\pi}{2}$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, следовательно, $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

3. Сложим полученные значения:
$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arctan(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 0$.

Ответ: $0$.

Б. $\text{ctg}(\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}))$

Для вычисления значения этого выражения сначала найдем значение аргумента функции котангенса, то есть $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

1. Вычислим $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$.
По определению, $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$ — это угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Нам нужно найти такой угол $\alpha$, что $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.
Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, следовательно, $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

2. Теперь подставим найденное значение в исходное выражение:
$\text{ctg}(\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})) = \text{ctg}(\frac{\pi}{4})$.

3. Вычислим значение котангенса:
$\text{ctg}(\frac{\pi}{4})$ является табличным значением.$\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$.

Ответ: $1$.